COS-0 — I
et, par suite, puisque A- = — co-,
/t = (i — 4cos2 0 ) //j z= const.
Cette condition étant nécessaire et suffisante pourque l'équation suit satisfaite, le théorème est démontré.
On retrouve encore la même condition en supposant que la pro-
l48 PKEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.
fondeur dépende à la fois de H et de à. Revenons, en effet, à l'équation générale (6) qui contient -7^5 et recommençons la précédente analyse. Il faudra qu'en remplaçant^ par zéro, o par sin2B, À par ito et -T-j- par «cp, l équation soit satisiaite. bette équation va
se présenter ici sous forme complexe, et, comme Ai est essentiellement réel, nous devrons annuler le coefficient de la partie imaginaire. En tenant compte de ce que, pour l'onde diurne, on a
/?9 — 21 COSÔ Al,
on voit que l'ensemble des termes imaginaires est égal à
■iCOSlJ -77- ( [ -H •2COS'2 0 ).
ai];
On devra donc avoir, pour que la marée diurne soit constamment nulle,
Par suite, la profondeur ne doit dépendre que de la latitude et nous sommes ramenés à l'analyse précédente, laquelle exige que la profondeur soit constante. Il en résulte donc que la mer devra recouvrir tout le globe.
81. Loi de profondeur pour laquelle la marée diurne serait proportionnelle à la marée statique. — Nous allons rechercher s'il existe une loi de profondeur de la mer telle que la hauteur de la marée diurne soit proportionnelle au terme correspondant Ge^^ du potentiel perturbateur. Nous supposons toujours que la profondeur ne dépende cjue de la latitude et, de plus, ici, que la mer recouvre le globe entier.
G étant proportionnel à sin2 9e"^, ^ devra contenir également ce facteur : ce sera donc une fonction sphérique du second ordre, et nous aurons
Par suite, n" sera comme ^ et G proportionnel à sinaOe''^, et il
résulte de
que '-5 devra être proportionnel à la même quantité. Si donc nous posons
l = 6 sin 2 6 <?'■'{'+>>',
a et b étant des constantes, la substitution de ces valeurs dans l'équation (12) où l'on aura fait préalablement 5=1 et À = ito nous donnera, comme tout à l'heure,
dh
la —7T-(.\cos-H — i) — 8 «Al si n 2 0 = b sin 26,
c'est-à-dire, en tenant compte de ce que
(i — /,cos26j— = — — 4/(1 sin^O,
dh .
du
On tire de là
h = ho(i — q ces- 6),
b /?o et q étant deux constantes telles que qko = •
Si la profondeur suit cette loi, la marée diurne sera proportionnelle au terme correspondant du potentiel.
On a d'ailleurs, immédiatement, l'expression de la hauteur de cette marée; en substituant dans l'expression de Ç les valeurs proportionnelles des ditierents termes, on a, entre les coefficients, la relation
d'où l'on tire, puisque g = ^^^ — et A- :^ — co-, b= \
Suivant la valeur de r/, b pourra être positif ou négatif, c'està-dire que la marée diurne produite sera inverse ou directe par rapport à la marée statique.
l5o PRKMIÈRE PARIli:. — CHAPITRE VII.
Si ^ = O, la pi^ofondeur est uniforme, et l'on a t^ = o : on retrouve bien le second théorème de Laplace.
82. Loi de profondeur pour laquelle une oscillation contrainte quelconque serait proportionnelle au terme correspondant du potentiel. — Nous pouvons nous poser une question plus générale, et rechercher s'il existe, pour une mer couvrant tout le globe, une loi de profondeur dépendant de la latitude seule, et telle qu'une composante quelconque de la marée soit proportionnelle au terme corresj)ondant du développement du potentiel.
Reprenons donc l'équation (12), dans laquelle nous n'attribuerons plus aucune valeur particulière ni à 5', ni à ).. Quel que soit celui des trois groupes aucjuel appartient l'onde considérée, C sera une fonction sphérique du second ordre : il devra donc en être de même de Si donc de II" et, par suite, de cp. Si nous posons alors
cp = af\. 0)e"'i'+>-^
/'(Q) étant la fonction sphérique du second ordre c{ui figure dans l'expression de C, la question est de savoir quelle devra être la valeur de A, pour que réc|uation (12) soit satisfaite.
Or, il suffit pour cela que lii^ soit une constante.
En effet, l'équation peut s'écrire dans ce cas
I c/- cp 2 oj d'ù \ sin-^e rft{;2 X d^l ~^'
hx AcD — /■■•i —4- - \ ' dr^-
do 2to (icp \
En introduisant maintenant, comme au paragraphe o7, une fonction y de 8 et J; seulement, telle que pour /• = i on ait 0 = 7,
nous aurons
Or, -^ devant être une fonction sphérique du second ordre, on a
Donc, sur la surface libre,
w si '
OU, en remplaçant (o et ^ par leurs valeurs proportionnelles,
X2-f-4to2cOS2 6
La loi de profondeur cherchée est donc
cos^B
