OSCILLATIONS D UN SYSTEME MECANIQUK
forme, même quand on considère l'équilibre dans le mouvement relatif.
4. T est un polynôme homogène du deuxième degré, par rapport à q'^ et aux q'-\ U ne dépend pas de ces quantités; les -y— sont
des polynômes homogènes du premier degré en q'^^ &^ q','i q'o tiré de l'équation (2) est d'ailleurs un polynôme du premier degré, mais non homogène, par rapport aux q'^ : H est donc un polynôme du deuxième degré, mais non homogène, par rapport aux q].
En second lieu, nous savons que les qi restent toujours très petits, puisqu'ils s'annulent dans la position d'équilibre relatif; les vitesses q'^ seront également très petites, et nous pourrons négliger les termes supérieurs au deuxième degré en qi et q[. Dans ces conditions, H sera un polynôme du deuxième degré, non homogène, par rapport aux qi et aux q'-.
Nous pourrons supposer, de plus, que ce polynôme ne renferme ni terme de degré zéro, ni ternie du premier degré.
En eftet, H n'intervenant que par ses dérivées, on peut toujours lui ajouter une constante arbitraire de manière à annuler le terme de degré zéro. Il n'y aura pas non plus de terme du premier degré en qi, parce que, si l'on suppose que les forces extérieures soient nulles, la position d'équilibre stable est caractérisée parles valeurs
qi = q'^ z= o et que les équations (3) se réduisent alors à -r— = o ;
-^ — s'annulant avec les qi et les q]-, il en résulte que le coefficient
de qi dans le développement de H est nul. Enfin, nous n'aurons pas non plus dans ce développement de terme tel que A^',- , car ce
terme ne donnerait rien dans -; — et donnerait zéro dans le premier
dcji ^
membre de (3) : on le supprimerait donc en ajoutant — Aq'- à H, sans rien clianger aux équations.
En définitive, nous pouvons regarder H comme un polynôme du deuxième degré homogène par rapport aux q/ et aux q'- .
Posons donc
H^ sera de degré 2 en q' et de degré o en q ; II I sera de degré i en q' et de degré i en q ; Ho sera de degré o en q' et de degré 2 en q.
a PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE 1.
5. Expression des divers éléments de H en fonction des caractéristiques mécaniques du système. — Considérons dans notre système un point matériel de masse m et de coordonnées a?, y, z par rapport aux axes mobiles. Les composantes de la vitesse relative par rapport à ces axes étant désignées par x\ y', :;', les composantes de la vitesse absolue du point, toujours par rapport aux axes mobiles, seront, d'après les formules fondamentales delà géométrie cinématique,
Donc l'énergie cinétique du système dans le mouvement absolu est
ou, en développant,
T = 2^ — (x - ^ y^ -^ z -^ ) ^ g ^, 2^ m(xj —yx )+ ^o'^ — (^- +X-)-
Le premier terme de cette expression est la demi-force vive T' du système dans son mouvement relatif : T' ne dépend pas de la vitesse «y^, qui a été explicitement séparée.
2m [xy' — yx') est le moment de rotation M, c'est-à-dire le moment résultant des quantités de mouvement dans le mouvement relatif; 2/?i(^- + r-) est le moment d'inertie J du système.
Nous pouvons donc écrire
Par suite, l'équation (2) nous donne pour la valeur de la constante p^
{% bis) ' po= -j-T = M -+- ^'0 J5
expression qui est bien une relation linéaire entre ^y, />o et les vitesses relatives, mais où les coordonnées relatives figurent au deuxième deoré.
En remplaçant maintenant T et p^ par leurs valeurs dans l'ex-
OSCILLATIONS D'uN SYSTÈME MÉCANIQUE.
pression de H (§ 3), on a
ou, en éliminant r/'^ au moyen de (2 bis),
Or, T' est, par rapport aux </', un polynôme homogène du deuxième degré dont les coefficients seraient fonctions des q ; mais, d'après l'hypothèse déjà faite (§4) sur la petitesse des coordonnées et des vitesses, grâce à laquelle on peut négliger tous les termes supérieurs au deuxième degré, T' sera un polynôme homogène du deuxième degré par rapport aux q' et indépendant des q. Dans les mêmes conditions d'approximation, U, qui est indépendant des q', sera du deuxième degré en ^; il en est de même de J.
Quant à M, il sera du degré i en ^ et du degré 1 aussi en q' ; p^^ est une constante.
Par conséquent, en ordonnant par rapport aux ^', nous aurons nécessairement
Ho
/?oM J
Ho
Biencjue cela ne paraisse pas explicitement dans tous les termes, nous sommes certains qu'en développant en fonction des q et conservant seulement les termes d'ordre 2, ces différentes expressions seront hien de l'ordre voulu en q.
Une circonstance permet d'ailleurs de les simplifier : c'est que le moment d'inertie de la partie solide du glohe est beaucoup plus considérable que celui de la partie liquide. Par suite, la vitesse de rotation peut être regardée comme constante et nous ])Oserons
lo premiers: partie. — chapitre i.
Jo étant le moment d'inertie constant de la partie solide et y' celui, variable mais beaucoup plus petit, de la partie liquide.
Nous admettrons qu'on peut négliger tous les termes en et nous poserons
co étant sensiblement égal à c/^^. En effet, le moment de rotation de la partie solide est Jq^J, et la petitesse relative du moment M fait que po ne diffère pas beaucoup de ^q[ qui serait le moment de rotation de l'ensemble du globe si J était constant, c'est-à-dire si l'équilibre relatif n'était pas troublé.
Négligeant -r » nous pourrons remplacer -p par i et, avec la même
approximation, nous aurons
— Joi— T- + 77 — •••) — Jo— y-
J Jo+y \ Jo Jo
Nous allons pouvoir maintenant, dans les expressions des diverses portions de H déjà ordonnées par rapport aux q' ^ mettre en évidence l'ordre des paramètres^. D'abord, M- étant de l'ordre du produit q-q'-, c'est-à-dire de j q'-^ puisque M ety se rapportent
tous deux à la partie licjuide, — sera de l'ordre de y q'- et pourra se supprimer par rapport à T' ; — '— devient -^ oj M = coM ; enfin
Pl T T > ' • ". — — r= - JqCO / CO-,
et le premier terme, qui est une constante, peut se supprimer dans les équations différentielles.
Nous aurons donc finalement
On voit donc que — ■ Hq représente l'énergie potentielle, en y comprenant le potentiel — -^-^ d'où dérive la force centrifuge
ordinaire.
OSCILLATIONS d'uN SYSTÈME MÉCANIQUE. I I
6. Oscillations possibles du système- — Un tel système peut prendre deux sortes d'oscillations distinctes : les oscillations propres et les oscillations contrainles.
Si l'on suppose qu'on écarte le système de sa position d'équilibre, et qu'on l'abandonne à lui-même, il oscillera : ce seront les oscillations propres^ dont la période dépend de la configuration du système.
Au contraire, si l'on soumet le système à l'action d'une force extérieure périodique, il prendra des oscillations appelées oscillations contraintes^ qui auront même période que la force et ne dépendront pas de la configuration du système. Nous allons étudier successivement ces deux sortes d'oscillations, en commençant par les oscillations propres.
7. Étude des oscillations propres. — Il nous faut supposer que les forces extérieures sont nulles, par suite faire Qt = o.
Alors, l'équation de Lagrange relative au paramètre ^a s'écrit
dt dq'i; dqu
et nous aurons n équations de ce genre, n étant le nombre des paramètres qj^^ sans y comprendre ^o-
Ces équations sont des équations linéaires à coefficients constants.
En effet, mettons en évidence les différentes portions de H.
Comme Ho est indépendant des q etHo des q' ^ les équations (5)
s'écriront
d d\\. d d\\^ cm^ dH^ dt dci). dt dqi; dq ^ dqi;
Or, Ho étant un polynôme du second degré en q\ -j-y^ sera de la forme
- = d\ i,q\ -t- d^ j.q^-^. . .-f- a,cj,qi,-\-. . .-i- a„j,q„ = X an^qt "■'^Ik
et l'on a
dq^dq,,
les ci':,, étant des constantes.
De même, H| étant un polynôme du premier degré en q et du premier degré en q\ on aura
et
Donc
dq'i^ .^ dqi dq).
^Hi v^ fZ^Hi
dqh ^mkdq'idqi,
d f/H, ^ ^ / dm, dm
en posant
dt dq'i; dqi- ^u\dqidq'i^ dq'i dq i
r/^H, dm,
dqi dq'i; dq'j dq f;
Ho étant un polynôme du second degré en ^, nous poserons
également
dqu Jim4
avec
d'-VL,
dqi dqi,
Avec ces notations, les équations de Lagrange prennent la forme
(6) ^(«//.-5'/+ '^'ikq'i-^ ciiicqf) = o.
Ce sont bien des équations linéaires à coefficients constants.
Chacune d'elles, celle relative au paramètre qu-, contient comme inconnues les n paramètres qi(^i= i, 2, . . ., 11) ainsi que leurs dérivées q\^ q"-\ et nous avons en tout ii équations, puisque
On sait qu'un pareil système s'intègre en posant
qi = rxi e>>',
et cherchant à déterminer X et les ai de manière à satisfaire aux équations. Celles-ci deviennent par la substitution
2\^i{a"ik'>^- + a'i,,\ -H au,) = o,
OSCILLATIONS D'lN SYSTÈME MÉCANIQUE. [3
OU, en posant
Nous avons alors n inconnues a,, ao, . . ., a,,, outre À, et /i équations linéaires homogènes. Donc, pour que le problème soit possible, il faut que le déterminant de ces équations soit nul,
Ce déterminant a n lignes et n colonnes; chacun de ses éléments étant un polynôme du deuxième degré en )v, le déterminant lui-même sera un polynôme de degré in en \.
Je dis que l'équation (8) a ses racines deux à deux égales et de signes contraires. En effet, si l'on permute les indices i eX, A", a"^., d'après sa définition, ne change pas ; il en est de même de aih. Au contraire, d-j^ change de signe :
aa- =■
<^kh
a'ik = -
ail; =
Mais si, après avoir fait cette permutation d'indices, on change), en — À, on ne change pas l'expression d'un élément C/yt du déterminant; ainsi
et, par conséquent,
en désignant par A,7,(X) la valeur du déterminant A(X) constitué avec les éléments C//,.
Or, permuter les indices i et k revient à permuter les lignes avec les colonnes, ce qui ne change pas la valeur du déterminant. Nous avons donc, en tenant compte de l'égalité précédente,
c'est-à-dire
L'équation (8) a donc bien ses racines égales deux à deux et de sianes contraires.
Je dis maintenant que, si l'équilibre est stable, ces racines sont purement imaginaires et cju'on a
ij. étant réel.
En effet, si X avait une partie réelle positive, e^^^ et, par suite, cji pourraient croître indéfiniment avec t : l'équilibre ne saurait être stable. De même, si la partie réelle était négative, il existerait une racine — \ dont la partie réelle serait positive, et le même raisonnement s'appliquerait. Donc, la partie réelle est nulle et, par suite, l'équation en \ n'admet que des racines imaginaires conjuguées deux à deux.
Si nous supposons l'équation en X résolue, nous pourrons pour chaque racine de cette équation déterminer les valeurs correspondantes des inconnues a,- et, par conséquent, des paramètres qi. Nous obtiendrons ainsi 2/? solutions particulières satisfaisant aux équations de Lagrange et correspondant aux 2/1 racines de
Chacune de ces solutions particulières sera une fonction périodique du temps; toutes les variables seront proportionnelles à une exponentielle imaginaire, c'est pourquoi ces solutions sont appelées oscillations propres harmoniques complexes du système.
Si nous posons
ai = Pi e'^i ^~\
pi et lui étant respectivement le module et l'argument de a^, chacune des oscillations propres harmoniques complexes du système sera donnée par les n valevirs
qi= p,-e/^(H-' + '^'> des paramètres q.
Les équations différentielles étant linéaires et à coefficients réels, la partie réelle et la partie imaginaire des solutions complexes satisferont séparément au problème. Donc, de chac[ue solution complexe, nous pourrons déduire deux solutions réelles :
qi= Pi cos{iJ.t -{- w/), Çi— Pi sin{ixt -+- Mi).
valeur u. est donnée par — = —^ ■• L'équation en À définit
OSCILLATIONS D UN SYSTÈME MÉCANIQUE. l5
Ces solutions réelles seront appelées les oscillations propfes liarmoniqiies réelles du système.
Les lîi solutions particulières qui donnent les oscillations complexes étant conjuguées deux à deux, leur somme fournira également une oscillation propre harmonique réelle rentrant évidemment dans les précédentes.
En combinant les in solutions particulières des équations différentielles, on obtiendra la solution générale du problème. Une oscillation propre quelconque peut donc toujours se décomposer en oscillations harmoniques complexes, d'où l'on passera facilement aux oscillations harmoniques réelles. Dorénavant, quand nous parlerons d'une oscillation propre, il faudra toujours entendre une oscillation pi^opre harmonique complexe.
On voit cpie la période d'une oscillation propre correspondant à la
donc les périodes des oscillations propres. L'amplitude est représentée par 0/ et la phase par oj/; dans la même oscillation, ces deux éléments difièrent pour chaque paramètre.
11 nous reste à montrer comment on peut déterminer p/ et co/, c'est-à-dire a^.
Pour cela, nous introduirons les mineurs du déterminant A (a).
Désignons-les par D/;,, de telle sorte que
D'après la théorie des équations linéaires homogènes, nous
aurons
ai 5^2 ^K
dTI ""û^. ~ ■ ■ ■ ~ Iw*
Les mineurs sont des quantités complexes entièrement déterminées quand on connaît \\ le problème est donc entièrement résolu.
JNaturellement, les a/ ne sont déterminés qu'à un facteur constant ))rès, et le rapport ~ est indépendant de i.
Remarquons que toute racine de féquation (8) nous fournit également comme racine son imaginaire conjuguée — A. A — A correspondra une oscillation propre harinoniciuc
l6 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
imaginaire conjuguée de la précédente, et nous aurons encore le
rapport |=r — p — ^T indépendant de i.
Mais le déterminant A jouit d'une symétrie particulière en vertu de laquelle, comme nous le savons déjà, on a
c'est-à-dire
d'où
puisque
Par conséquent,
Il en résulte, en permutant les indices, que le rapport jr^ est indépendant de k.
8. Cas particulier de l'équilibre absolu. — Si nous supposons que les oscillations du système s'effectuent de part et d'autre d'une position d'équilibre absolu, nous aurons pour les parties constitutives de H
H2 = T énergie cinétique,
Hq = — U énergie potentielle changée de signe.
Alors a'^.^ = o; par suite, ici, G/a ne change pas quand on permute les indices.
Nous avons toujours
et d'ailleurs
G,7c(X) = G^.,(X), donc
Or, a/ est proportionnel à D/a(X); (j/ est proportionnel
OSCILLATIONS d'uN SYSTÈME MÉCANIQUE. T7
à T)f;i(\) = D/y;()^). Par suite, a^- et [j/ ne difFèi^ent que par un facteur constant, qu'on peut prendre égal à i puisque chacune de ces quantités n'est déterminée qu'à un facteur constant près. Ainsi
Or, ces quantités sont imaginaires conjuguées, donc elles sont réelles et l'on a co/ = o, quel que soit /.
Par suite, les oscillations de tous les paramètres q, c'est-à-dire de tous les points du système, ont même phase.
Au contraire, dans le cas général, elles ont des phases différentes.
En effet, nous avons bien toujours
mais, comme C/a()^) change par la permutation des indices, on ne
peut plus en déduire
L'effet de la force de Coriolis est donc de décaler, dans une même oscillation propre, tous les paramètres les uns par rapport aux autres.
9. Étude des oscillations contraintes. — Dans ce cas, les forces extérieures ne sont plus nulles. Le terme Q^- de l'équation de Lagrange relative au paramètre qi sera différent de zéro, et de la forme
les facteurs e^^'^ étant des fonctions périodiques du temps.
En effet, la force perturbatrice peut toujours se décomposer, d'après la série de Fouiner, en composantes isochrones complexes dont les parties réelles fourniront des composantes isochrones réelles.
Considérons les composantes complexes. Chacune d'elles donnera lieu à une oscillation contrainte isochrone de même période; et lorsque toutes les composantes agiront à la fois, l'oscillation résultante sera, d'après le principe de la superposition des petits mouvements, ta somme des oscillations dues à chacune d'elles. Il nous suffira, par conséquent, d'en envisager une seule.
l8 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
Posons donc, en supprimant maintenant l'indice /i,
Cette force perturbatrice engendrera une oscillation contrainte
qi= £/e>^S
que nous nous proposons de déterminer.
Il nous suffit pour cela de voir ce que deviennent les équations de Lagrange. L'équation (5) aura un second membre R/fC^^ et s'écrira
d dH du .
^^■^ dt de//, dqi, ^ ) > î /)
À est ici une donnée de la question, tout comme K.
En distinguant les trois portions de H et introduisant les constantes «')/., a^/j. et ciik-, comme nous l'avons fait au paragraphe 7, les équations (9) s'écriront
/A- = I, ■?.,..., re\ \ t = I, '2, . . ., nj
et, en substituant la valeur ^^=$,6^'^, que doit prendre le paramètre cji sous l'influence de la force perturbatrice, nous aurons finalement le groupe d'équations
Les G/A sont des constantes connues, puisque \ est connu.
Chacune des équations renferme les n inconnues zi et nous avons n équations. Ce sont encore des équations du premier degré comme les équations ('y), mais elles ne sont plus homogènes et renferment un second membre. On les résoudra par le procédé habituel, et l'inconnue £/ se présentera sous la forme du quotient de deux déterminants. Au dénominateur, nous aurons le déterminant î^(X) des coefficients C,7f des inconnues; au numérateur, ce même déterminant dans lequel on aura remplacé respectivement C/, , C/o, ..., C,„ par K,, K2, ..., K„ : ce sera donc SK^D,-;,(A).
Par conséquent, une solution particulière du problème des oscillations contraintes nous est donnée par les n valeurs
SK/,D,7,(X)
OSCILLATIONS d'uN SYSTÈME MECANIQUE. ig
10. Comparaison entre les oscillations contraintes et les oscillations propres. — K^ est une constante, D/^ est un polynôme de degré in — 2 en k puisque c'est un déterminant qui a /? — i lignes et dont chaque élément est du deuxième degré en \^ ^(^) est de degré 111. Donc e^est une fonction rationnelle qu'il est possible de décomposer en éléments simples.
Pour cela, nous introduirons les oscillations propres du système.
Nous avons vu qu'en désignant par Ay une des 2 ai racines de l'équation (8),
l'oscillation propre coi-respondante est donnée par les valeurs des paramètres
qij = ^tj e^i^ {i = 1,1, . . ., n).
Les 2n racines \j sont d'ailleurs égales deux à deux et de signes contraires. Ces valeurs de q sont une solution des équations différentielles sans second membre, tandis que (/i = s/e^^ estune solution particulière de ces équations avec second membre.
Pour avoir la solution générale de ces équations, c'est-à-dire du problème des oscillations contraintes, il nous suffira d'ajouter à la solution |)articulière une solution quelconque des équations sans second membre, c'est-à-dire une oscillation propre.
Ceci posé, procédons à la décomposition de £/ en fonctions rationnelles. Les racines du dénominateur sont A =Xy, ces quantités étant les mêmes que celles qui définissent les périodes des oscillations propres du système; à chacune de ces racines correspondra
SK/,D,/,(X/) -, , ^
un terme 7s r — rrry^ (/i = 1 , 2, . . ., n) et nous aurons, en som-
mant par rapport ày = 1 , 2, . . ., 2/2,
En vertu d'un ihcorème que nous avons démontré au paragraphe 7, le rapport —^^^ — — est indépendant de /. Mais nous
savons que, outre la solution particulière qij^ a.ijc'^j^ des oscillations propres, nous avons également la solution imaginaire con-
juguée Sij-= ^ije ^'/, et nous avons démontré aussi que le rapport —^ — — était indépendant de li. Nous en concluons que
U l-'/iJ
est indépendant à la fois de iet de h. Ce rapport ne dépendra donc que dey et nous pourrons écrire
y./ étant une cjuanlilé dont nous verrons bientôt la signification (§15).
Alors
et nous en déduirons l'expression des paramètres qi. En écrivant q'I pour montrer qu'il s'agit d'une solution particulière des équations avec second membre, nous aurons
\ et K^ sont des constantes données^ se rapportant à la force perturbatrice qui est connue ; Xy, uiy, a/y et [5/,y sont aussi des constantes relatives à l'oscillation propre dont la période est définie par la racine \j de l'équation (8).
Par conséquent, à un coefficient près cjui ne dépend c|ue dey', le terme général de q\ sera a/ye^^(y'= i, 2, . . ., 2;?).
Chaque terme correspondra à une oscillation conti^ainte harmonique.
Si l'on compare cette oscillation à l'oscillation propre correspondante, on voit que a/y est le même pour les deux oscillations, mais que le coefficient exponentiel est é'-'^ dans l'une et eV' dans l'autre.
Chaque oscillation contrainte a donc en ses divers points les mêmes différences de phases que l'oscillation propre harmonique correspondante et une amplitude proportionnelle, mais sa période est différente : c'est celle de la force perturbatrice.
OSCILLATIONS d'un SVSTÈME MECANIQUE. 2r
L'oscillation contrainle totale correspond à l'expression complète des cji. Elle se trouve ainsi décomposée en oscillations isochrones liarmonicjues contraintes complexes dont on déduirait aisément les oscillations contraintes liarmoniquies réelles.
11. Résonance. — Il convient de signaler tout de suite un fait extrêmement important. Supposons que A soit très voisin d'une des valeurs \j relatives aux oscillations propres.
Alors, le terme correspondant dans l'expression de qi deviendra prépondérant, et l'oscillation contrainte observée différera très peu par la période, par le rapport des amplitudes et la différence de phases en divers points d'une des oscillations propres harmoniques du système. C'est en ceci que consiste le phénomène de résonance ; on en constate la production dans certains bassins maritimes où se produisent des marées considérables se rapprochant d'une oscillation harmonique propre. .
12. Conséquence du principe des forces vives. Énergie d'une oscillation. — Formons l'expression
Nous aurons alors, H dépendant de q et de q' ^
-^ dW , ^ clV± A4 ciq ^ ~ ^ 'Tïcp
dt ~^^ dq' ' jLd^^ di dq' 2^ dq ^ ~ Zd dq'
2, d d\\ -^ dW , -v^ , ^
d'après les équations de Lagrange.
Or, SQo^ représente le travail virtuel des forces extérieures correspondant à un déplacement virtuel oq des paramètres. Le déplacement réel pendant le temps dt étant q' <lt, ^ç' Q est le travail des forces perturbatrices rapporté à l'unité de temps. Il en résulte que E représente V énergie.
L'expression (12) peut se transformer aisément en appliquant le théorème des fonctions homogènes. JNous avons, en effet, en
nous reportant aux définitions de Ho, H,, Hq (§ 4-),
Z^ de/ =^"^'
2^? dq- =""
Par conséquent,
[l2-Ho=T'+U-
Le moment de rotation M dans le mouvement relatif ne figure pas dans cette expression.
Dans le cas où l'oscillation s'elTectue autour d'une position d'équilibre absolu^ on a simplement pour l'énergie
{l'ibis) E=T-hU.
