Remarque. — ).- est essentiellement négatif. Si donc

|X-^[>4to2,

nous aurons pour la profondeur h des valeurs qui seront toujours positives. Mais si, au contraire,

la loi de profondeur nous donnerait pour A des valeurs qui seraient positives ou négatives suivant la latitude.

Or, parmi les principales composantes isochrones du potentiel,, nous n'en avons précisément aucune pour lacjuelle |A|^2io.La loi de profondeur ci-dessus trouvée conduirait donc à des valeurs négatives inacceptables.

Faut-il en conclure alors que notre équation est dépourvue de toute signification? II est possible de lui en conserver une, mais à; condition de négliger H".

Nous avons, en effet, pour chacjue composante, deux parallèles symétriques, séparant des régions où la profondeur de la mer devrait être alternativement positive ou négative; si ces dernières sont occupées par des continents, nous aurons une loi de profondeur admissible, mais il est nécessaire de négliger II" dans l'analyse que nous avons précédemment faite, parce que H" ne reste

plus proportionnel a —. —

Il est d'ailleurs inutile de se préoccuper de la condition aux limites qui est d'elle-même remplie puisque o reste finie.

Pour les marées semi-diurnes, les continents se réduiront à de petites zones circumpolaires.

Pour les marées diurnes, leurs rivages coïncideront à peu près

avec les parallèles de latitude 3o° [cosG = -\-

Enfin, pour les marées à longue période, les mers se réduiraient à une étroite bande équatoriale.

LIQUIDE PESANT RECOUVRANT UNE SPHÈRE TOURNANTE. l53

Pour chacun de ces cas, un changement dans le signe de Iiq intervertirait les positions respectives des mers et des continents.

84. Étude de l'équation de Laplace d'après les travaux de Hough. — Dans le Livre IV^ de la Mécanique céleste^ Laplace a poussé plus loin l'étude de l'équation (12 ).

Plus récemment, M. Hough, astronome à l'Observatoire du Cap, a publié sur cette question un important Mémoire, dans lequel il a déterminé complètement les oscillations propres et contraintes dans l'hjpothèsc d'une profondeur constante.

Nous allons donner ici une analyse des travaux de M. Hough, qui ont paru dans les Volumes CLXXXIX (1897) et 0x01(1898) des Pliilosophicai Transactions of the Royal Society of London.

80. La méthode employée par M. Hough pour intégrer l'équation de Laplace est une méthode de coefficients indéterminés, dont le principe consiste à représenter la fonction es par une série de fonctions sphériques

Les coefficients Y ,1 de ces séries décroissent très rapidement de part et d'autre du terme le plus important, lequel n'a pas la même place dans la série suivant les solutions.

Si, par exemple, pour une certaine solution, le terme le plus important est X^, les coefficients

1^/JH- 1) r'/J + S; • • • •

décroissent très rapidement.

On peut donc arrêter les séries de part et d'autre du terme |)rincipal à un certain rang, et l'on a alors un polynôme limité dont on détermine les coefficients par la méthode des coefficients indélei^minés.