X--t- 4 w- cos
Nous allons d'abord commencer par transformer celte équation.
Posons
cosB = [j.,
■?Aosi
nous aurons alors
^-Pv'
JNous introduirons aussi les notations symboliques suivantes :
Do = (I — [j.2j— L = sinO -=^, aiji ao
D Cp -I- (TiJ.Cp = (■ D -t- (JlJl ) Cp.
Remarquons que
D [j,cp = ( I — u!-- ) 'f + [J. ( I — |-<.^ ) -r- = u D cp -h ç D [0. ;
nous pourrons donc écrire sjmbolicjuement
D[JL— JJlD = I— [Jl2.
Ecrivons aussi
Nous aurons alors
/ T-. , , ■ r. d / . ,rlo\ d-o . ,
' y étant la fonction déjà souvent rencontrée, ne dépendantpas der, et égale à cp pour /■ = i . Gomme la confusion n'est plus à craindre, nous écrirons simplement Acp au lieu de Ay, et nous aurons le
symbole
D2— 52= fi — ,u-^)A.
LIQUIDE PESANT RliCOLVRANT LNE SPIIERK TOURNANTE. 1 5d
Enfin, nous aurons besoin de la formule
( D — (Ta j ( D + C71J. ) = D2 — (t2 ;j.2 -f- ( I — [J.2 ) (7
= S- -h (l [Jl'- ) ( A -I- (T ) C-- [JL- ^rz (l— [Jl2)(A -t- a) -+- 52(1 — /2[Jl--).
Si nous changeons t en — a-, nous aurons
(D -I- crjj.jfD — cr[jL) = (1 — a^ )( A — a) -f- ^^(i — /2 îjl^ j.
A l'aide de ces formules symboliques, nous allons pouvoir transformer l'équation de Laplace.
Nous avons
. do 1 CO is r, ^
d ou, en mullipliant par tu. = -^ — cos t,
a- [J.2 o -\ ^ — cos u SI n 0 -7^ = — n\^x ( U — t^[J- ) 9-
Tl en résulte qu'on a
sinO ^T ( Al sin6 — i- h ^ — h^o cos 6 ) = Dr/îi(D — t^fJ^)?],
— hxis-o-^ —. — - cosO sinO -~\ = Ai<7[ji(D — ^\>-)^ -^ s-hi(f- [x^ — 1)7
^ /(] (7ij.( D — a,u )cp — 52 Acp.
L'équation (12) peut donc s'écrire
D[/ji(D — c7îji)o] -t- Aicr|ji(D — cr[x)u — s'^ho = Çsin^G.
c'est-à-dire encore
(l3) (D^3[JL)[/il(D — C7;jL)cpJ— 52/jcp ^ V(,jj^2).
87. Pour intégrer cette équation, M. Hough introduit deux fonctions auxiliaires es, et c3o définies par les relations suivantes :
( O = (D -t- T[^)cp,-+- (1 — /■2[J.2)cp2,
{ ( A H- (7 ) cpi = 2/2 [J. cp.2 .
Alors nous aurons, en ctTectuant l'opération D — o-^ sur la pre-
l56 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.
mièi'e de ces relations,
(D — a;a)cp = ( i — ;jl2)(A — a)oi -4- 5V1 — /^ [i.'-)cp,
-h D(|— /2[^2)o2 a[^(l-/2u2)cp2,
et, comme
il vient
(D — a[Ji)cp = (i — [J."^)('A + a)cpi-4- 5-(i — /2[jl2)cçi
+ (l-/'f^')(D— 7[a)cp,— 2/2[a(l— [-12)0,,
ce qui, en vertu des relations (14)5 se réduit à
(15) (D — a;JL)cp = (l — /•2[Jl2)[5-^'-pi-f- (D — G<J.)r^,].
Si nous substituons les valeurs de es et (D — ^[^)f fournies par (14) et (1 5), l'équation (i3) devient
(16) (D -f- cr[a)[A5'-(f,-+- A(D — ciiJ.)o.2]
Dans le cas où la profondeur h serait constante, les termes en cû| se détruisent et l'équation se réduit à
/i(D + a[JL)(D — afJL)cp.2— 52(1— /2,j.2)/icp2= (:f][j,2),
c'est-à-dire
(17) A,(A — cr)cp2=^.
88. Intégration dans le cas d'une profondeur constante. — Rappelons d'abord quelques notions générales relatives aux fonctions sphériques.
Si \,i est un poljnome homogène en^, y, z, satisfaisant à l'équation de Laplace AV = o, on l'appelle polynôme sphérique ou harmonique solide de degré n. En exprimant x, y, z en coordonnées polaires, nous aurons
^ n — ' '■II:
Y„ étant uniquement une fonction de <L et de jj. = cosO, cju'on appelle fonction sphérique de degré n ou encore harmonique de surface.
LIQUIDE PESANT liECOU VKANT UNE SPHERE TOURNANTE. 167
11 y a in -\- \ fonctions sphériques de degré /i indépendantes, et la fonction Y^j la plus générale a pour expression
Les fonctions P)^ sont des fonctions de ]j. seulement ; ce sont des polynômes en jjl et y/i — [j.- qui ne contiennent y/i — [jl- qu'à des puissances de même parité que 6- : on les appelle fonctions adjointes de degré n et de rang s. Elles ont pour expression à un facteur près
La fonction adjointe de rang zéro
I d"(ix'^—i)"
n'est pas autre chose que le polynôme de Legendre : on l'appelle diussi fonction harmonique zonale de degré n.
Pour intégier l'équation (l'j), M. Hough introduit les harmoniques de surface
qui satisfont à la même écjualion différentielle que les fonctions adjointes
dix
a[JL J I — 'x-
Pour 5^0, elles se réduisent au polynôme de Legendre. Si /? << s, toutes les fonctions de degré /i sont nulles.
Les fonctions adjointes satisfont à certaines relations de récurrence qui se déduisent aisément des relations analogues relatives aux polynômes de Legendre.
On sait qu'on a
(n -h ijP„4-i— {■>.n -+- i);-iP,i-l- «P«-i = o et
iJilTérentions s fois la première de ces relations ; nous ojjlien-
l58 PREMIEHE PARTli;. — CHAPITRE VII.
cirons
{n -1- I) — 7— {in -f-i [^— r— {■xn-^\)s -4- n — ^— — = o
' d\xs d\x>' d\3.^-^ d\x^
et, en dillérentiant s — i fois la seconde,
dix.^ d\j.^ ^ d\xs-^
D'où l'on tire
d'?n+i , d'V,, , ,rf^P«-i
(7^ — 5 + 1)— y^^— a/i + ij'J--^' ^{n^s) " =0, ' d\x^ d[x'' dixs
c'est-à-dire, en multipliant par (i — |j.-)-,
(18) (/i — 5-M)P«+i — {>■« -^ 'ji-iP« + (« -^ S) p;,, = o.
Cette première relation de récurrence entre les fonctions adjointes permet d'exprimer linéairement [jiP^^^ avec P^^., et P)^+,.
Pour obtenir une autre relation, où interviendront les dérivées de ces fonctions, ditîerentions s — i fois l'équation
à laquelle satisfont les polynômes de Legendre ; nous aurons
c'est-à-dire, en multipliant par (i — \^''Yi
( 1 — 'J-- ) —7— — usd — u"- )- — ; '- (n + S) (//. — s -^ i)(\ — iJL-)2 — ~ = o
du. dix" dix-^^^
ou, en exprimant —y — en ionction de — -, et — ; 5
' ^ a[j.'>'~' rtjji''' dix"
^.dPi r.^. (n-^s){/i — •s + r),..
(i p.-^)-^'-,..P^, + . ITTT^ (PW.-Hf,-J = o.
Si maintenant nous éliminons y. P)^, au moyen de la relation (18),. nous obtiendrons
Par conséquent, DPJ^ s'exprime aussi linéairement en fonction de P' et P'
LIQUIDE PESANT RECOUVRANT UNE SPHERE TOURNANTE. 1 Sg
Enfin, avec nos notations symboliques, l'équation différentielle à laquelle satisfont les fonctions adjointes peut s'écrire
(20) APf, = — /i(AÎ-4-l)Pf,.
89. Ceci posé, nous savons que, si la profondeur est constante ou, plus généralement, fonction seulement de G, on pourra satisfaire aux équations du problème à l'aide d'une fonction -o de la forme
s étant un entier.
S'il s'agit d'oscillations propres, chaque oscillation propre se présentera sous la forme e"'T^''"^'/'(9) et sera caractérisée par la valeur de s.
Dans le cas des oscillations contraintes, si nous considérons une composante isochrone de la force perturbatrice, représentée par Ge^'% cette composante sera de la forme
,s' ayant, suivant les cas, les valeurs o, ± i, ±2, et la fonction cp aura encore la même forme.
s caractérise donc aussi bien chacune des oscillations contraintes que chacune des oscillations propres.
La méthode d'intégra'ion de M. Hough consiste à représenter la hauteur de la marée par une série de fonctions harmoniques de la forjne e^'î'P^^, le nombre 5 étant déterminé.
Dans cette série, s restera ainsi constant, tandis que n variera d'un terme à l'autre.
Posons donc, en laissant de côté les facteurs exponentiels,
l6o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.
ces séries de même rang s ayant leurs termes nuls pour n << s. La sommation s'opère donc de n = s k n ^^. C est une donnée de la question.
Les équations du problème sont, d'une part,
(22) ^C = ^■-? — n"— Ce>^';
ensuite les relations (i4)? <iue nous pouvons écrire
( cp = (D ^- a[a)cpl^- 92— -^(A-J- C7)cp,, (14) , 2
( ( A -1- cr ; cp, = 2 /'"2 ucp2 ;
enfin, l'équation (17) relative au cas de la profondeur constante
Nous savons d'ailleurs, la mer étant supposée recouvrir tout le globe, que
Si, dans l'équation (22), nous remplaçons les quantités par leurs expressions (21), ^ nous donnera un terme en A'J^P;^^, ci un terme en F]^ P*^, U" un terme en AJ^ P)^, et C un terme en y,^^ P^^. Par suite, en égalant dans les deux membres les coefficients deP^^, nous obtiendrons une relation linéaire entre A^^, T'^^ et Y,r
Faisons la même substitution dans la première des équations (i4)- Nous aurons par cp un terme en T^^PJ^. Remarquons qu'en ajoutant a-p.P^^ aux deux membres de l'équation (19), on a, en tenant compte de (18),
Par conséquent, 'f\ donnera des termes en a^^P^^, et a^^^ P^^^, ; nous aurons donc aussi, par les termes de z>i de degrés voisins, des termes en af, , , P'^, et ai , PI.
//-ri /t // — 1 fl
Quant à cp2, il nous fournira un terme en (^^^P)^. D'où, en égalant les coefficients de P*,, une relation linéaire entre P),, <,, <^, et [B^.
La seconde des équations (li), si nous remplaçons dans le
LIQLIDK PESANT REiOUVRANT VNE Sl'HÈRE TOURNANTE. l6l
second membre PJ^ par sa valeur tirée de (18), nous fournira une relation linéaire entre a)^, |j',, et pl^^ .
Enfin, la substitution dans ( 1 --) nous donne de suite une relation linéaire entre [i], et A)^.
Cette dernière \aul pour // — 1 et /i -h i ; de sorte qu'en remontant, nous obtiendions successivement :
Une relation linéaire entre a)^, A^'^ ^ , A)^|,;
Une relation linéaire entre T]^, -^,V-' ^In -^u+2 '■>
Et finalement une relation linéaire entre y)^, A)^^, x\)^, A,'^^o.
Comme G est une donnée, les -'^ sont connus et l'un pourra ainsi déterminer les coefficienls A^.
La méthode peut s'appliquer dans toute sa généralité à un potentiel perturbateur absolument quelconque, dont on pourra toujours exprimer la valeur en un point de la surface par une série «Iharmoniques de surface, sous la forme
^lais, dans le cas des astres, nous avons vu qu'en négligeant la quatrième puissance de linverse de la distance, le potentiel efficace se réduisait pratiquement à une fonction sphérique d'ordre 2. Il n'y aura donc, en général, à considérer dans l'expression de ce potentiel que le terme en Y-> ''-o et nous aurons trois espèces principales d'oscillations contraintes caractérisées par des harmoniques de surface de rang 5 = 0, 1,2. Mais, pour chacune de ces composantes, n pourra prendre toutes les \aleurs possibles dans l'expression de la hauteur JT qui se présentera, en général, sous forme dune suite illimitée.
S'd s'agit des oscillations pru|)res, tous les y sont nuls.
Tel est le principe de la méthode : il procède directement de la voie (pi'avait suivie Laplace, mais M. Hough a poussé les calculs beaucoup plus loin.
UO. Cas d'une profondeur variable. — Les formules précédentes supposent que la profondeur est conslanle. Si nous la siq)posons \ai'iable, tout en restant uniquement lonclionde la latitude, il nous faudra remplacer r('qualion (i^ j par les étpialions (i3) ou (i()). P. — lit. Il
Il sera, de plus, nécessaire de se donner la loi de profondeur. Supposons, par exemple, que nous ayons
hi =■ const. L'équation (i3) de\ient alors
c'est-à-dire
On retrouve un résultat déjà obtenu au paragraphe 82. Cette équation, jointe à l'équation (22), nous donnei^a tout de suite, sans avoir besoin de passer par l'intermédiaire des équations (14)5 une relation entre A^^, et r)^.
On trouve facilement, par l'élimination de F^^,
C'est exactement ce que nous a^ ions déjà trouvé pour n = 2 (§ 82). Il existe une certaine loi de profondeur, dépendant de la période, et pour laquelle l'oscillation produite aura tous ses termes proportionnels à ceux de la composante isochrone du potentiel perturbateur cjui la détermine.
91. Supposons maintenant que nous ayons une loi de profondeur donnée par la formule
/o et /) étant des constantes. En négligeant les termes de l'ordre de /*, cette hypothèse revient à admettre c|ue le fond des mers a la forme d'un ellipsoïde de révolution.
Si nous substituons cette valeur de /i dans l'équation (i3), nous obtenons
( D -f- CTia ) ''.., ., ( D — a[j. ) cp — s2 /() cp
-t- ^ [( D + ajji) ( D — a,a) - «^(i -p ,jL2)]cp = Ç(i - fx^).
Si, dans les termes en /q, nous remplaçons es par son expression en '-5, et csj, les termes en es, se détruiront et il restera simplement
^0(1 — [J-')(A — cr)ç2.
LIQUIDE PESANT RECOUVRANT UNE SPHÈRE TOURNANTE. l63
Quant au coefficient de /), il est égal à (i — p-")(^ — <y)o. L'équation se réduit donc à
/o(A — 1)0.2= K — ^li^ — '^)?-
Par conséquent, dans la relation entre les coefficients fournie par (17) pour le cas d'une profondeur constante, il suffira de changer h en l^ et Ç en ^ — ^1 (A — cr). Or, nous avons
et, par suite,
Ç /,(A a)cp =2 ! ^H. + f^['^(n -t- i) + <y]n\.
Il faudra donc changer A^^ en A^^ + /, [/z(/z + i) + o"]r^^.
On voit que nous obtiendrons ainsi une relation linéaire entre T^^.o, TJ^, ^n+-ji -'^«-27 -'^ni ^w+2 ^^ finalement une relation linéaire entre y,;.,, yln T«+2) ^u--2i ^n-' ^«+25 c'est-à-dire un résultat de même nature.
Pour les oscillations propres, tous les y sont nuls, et il reste une relation linéaire entre AJ^„, A^^, A^^^., .
Dans le cas des oscillations contraintes, yl, sera différent de zéro. Nous aurons donc deux des relations, celles qui correspondent k n= 2 et //== 4, qni contiendront un terme en y^ ; toutes les autres ne contiendront que A^^,^, A^^, AJ^^^- Si l'on considérait, pour plus de généralité, un potentiel exprimé par une harmonique d'ordre 7i, le nombre des relations contenant un terme en y^^ serait, en général, de trois.
92. En résumé, si nous désignons par ^rj,,!^*^, L^^ des coefficients fonctions de /?, s et A dont l'expression varie avec la loi de profondeur, toutes les relations qui relieront entre eux trois coefficients A^^ successifs seront de la forme
/ =: o (oscillations propres) ^n-'îMi—z — ^u ^H -^ JXn ^n+ 2 ^ = o OU proportionnel à Y'I
f ( oscillations conlrainles).
Cette équation est valajjle pour toutes les valeurs de n égales ou supérieures à 5, à condition de faire
AJ = AJ i := AJ 2 = o.
l64 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.
La première relation ne renfermera donc, dans tous les cas, que deux coefficients.
Les indices n qui figurent dans les relations successives étant toujours de même parité, nous aurons deux groupes de relations distincts, suivant cjue n — s sera pair ou impair.
Les oscillations correspondant à chacun de ces groupes peuvent être étudiées d'une manière tout à fait semblable et ne diffèrent entre elles qu'en ce cjue les oscillations du premier groupe sont symétriques par rapport à l'équateur, tandis que cette symétrie n'existe pas pour n — s impair.
Pour déterminer les valeurs des coefficients, posons
Jn^ii + i — '^/f + î -^in
—s Ai- US \S
de telle sorte que chacune des relations ne contenant pas y^^ se présente sous la forme
Les coefficients H etK peuvent s'exprimer à l'aide de fractions continues. En effet, nous avons
donc
y.S yX H.î I/A-
•' Il J II — ^^H "-n+i •
On en déduit, par substitutions successives, la fraction continue
'^'/i '^'« + 2 ^^'«+i I .s- ■^'n.+ -2 .V II.+ -1
De même
Hc "^ " j^'i "^11 y II "^11 y II
tH-i ^, ^,-2.rrt
... 2-Kl 4
Seulement celte deinière fraction s'arrêtera, puisque, pour n <C s, A)^ = o ; nous aurons donc un H^^ qui sera nul.
11 n'en est pas de même de la première fraction continue qui sera illimitée puisque n croît; mais elle converge très rapidement.
S'il s'agit d'oscillations contraintes, nous aurons, suivant que la
profondeur est constante ou qu'elle suit la loi plus générale imposant au tond la forme d'un ellipsoïde de révolution, une ou deuA équations renfermant le terme en Y-> ^^^ ^st connu. Comme ), est également donné, les autres équations nous permettront de calculer nos fractions continues et d'en déduire, par conséquent, les
rapports /' ; ■ . " « En substituant le rapport 7-7 dans l'unique
équation en v'^, ou -r-f dans la seconde des deux, nous obtiendrons
une ou deux équations ne renfermant C|ue le même nombre d'inconnues, soit Af, , soit Af^, etA^, . Dans chacun des cas on pourra donc déterminer de proche en proche tous les coefficients.
93. Détermination des périodes des oscillations propres. — S'il
s'agit au contraire de déterminer les oscillations propres, tous
les v'^ sont nuls, mais A est une inconnue qui figure dans toutes
les équations
y « fr5 , us
Toutefois, on en connaît généralement une valeur approchée. On pourra donc, avec cette valeur, calculer les fractions continues qui donnent H^^., et 1^^^+.^, et comparer le résultat obtenu à L'J^. L'application de la méthode de Newton permettra de déduire de cette comparaison la correction qu'il conviendra d'apporter à la valeur approchée de A.
Il s'agit donc d'abord de déterminer les ^aleurs approchées qui peuvent convenir à a.
Supposons, pour fixer les idées, que la profondeur soit constante.
Dans ce cas, les coefficients x]^^ y'], et L)^ qui figurent dans la relation générale
x%., \'„, — \j„ \'„ -\-j';, Xi+, = o
ont respectivement pour expressions
f -i. OJ l
{'in ^ I ) ( -2 /t -H 3 ) ( /i H- I ) ( /< 4- '2 ) — — ^
y II
( x n -f- 3 ) ( V. /; -f- '\ )\{ Il — w \ n -v ■.■>. ) —
■>, tu SI
l66 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VII.
en posant, pour aJaréger,
