TT
et
Af, = -
\lù~ n'H 71 -h g^
(n — i)-( 71 — s) (rt -i- 5)
n- (in — i)( 9. « -i- I )
n{it — I )
2 OJ 5i T
■1 ix> si 1
On voit que, pour les grandes valeurs de «, x]^ et y,^^ sont très petits; par conséquent, on peut, en première approximation, se contenter de résoudre l'écpiation
c'est-à-dire
Prenons pour variables
et construisons la courbe de la fonction AJ^ {fig- 19)
(n — I )-(7i — 5) ( rt -f- .f
4 /i-( 71 H- rj-
^7^^-I)2(27^ + rj(2 7^^-3) (7i^i)(/i + 2) — ^J
Cette courbe passe par l'origine et elle a deux asymptotes parallèles à l'axe des y.
n( Il — X ) '
de part et d'autre desquelles j'" change de signe. De plus, elle est asymptote à la parabole
LIQUIDE PESAXT RECOLVRANT VT\E SPHÈRE TOURNANTE. 167
Si nous coupons cette courbe par la droite
les abscisses des points d'intersection nous fourniront les valeurs de — . crui sont racines de l'équation ï/, = o.
Lui ' ^ "
h étant essentiellement positif, nous aurons quatre racines
dles.
Fig. 19.
Ces quatre racines se partageront en deux groupes :
hffn
D'une part, les racines extrêmes qui, pour les valeurs de y^ suffisamment grandes, seront sensildement sur la parabole asymptote et, |)ar consécpieni, voisines des racines de léquation en — . :
d'autre |)art, les lacines intermédiaires qui seront très voisines
de
et
l6H PREMIKRK PARTI!-:. — CHAPITRE VII.
Gomme A = a)/j7, nous voyons que les périodes des oscillations j)ropres pourront se répartir en deux classés, qui se distingueront par leurs valeurs limites quand la vitesse de rotation oj tendra vers zéro.
Pour les oscillations de la première classe, correspondant aux racines extrêmes, la valeur de A tendra vers une valeur finie
dz i\/n[/i -+- \)g,i]i. Nous retrouvons ainsi le l'ésultat déjà obtenu au paragraphe o7 en négligeant la force centrifuge composée. L'effet de cette force sera d'autant plus faible que les points
d'intersection extrêmes de la courbe avec la droite y =i -^
seront plus voisins de la parabole asymptote, c'est-à-dire que h sera plus grand et n plus grand.
Au contraire, pour les oscillations de la seconde classe, qui correspondent aux racines intermédiaires, lorscjue to tendra vers zéro,
A tendra également vers zéro, mais — tendra vers une limite finie.
Les mouvements correspondants cesseraient d'être oscillatoires si a rotation s'annulait et se réduiraient à des courants permanents; pour une très faible valeur de la rotation, ils donneraient des oscillations propres à très longue période.
Remarquons que nos C[uatre racines ne sont pas, en général, égales deux à deux et de signes contraires. Or, nous savons que les racines de l'écjuation en X doivent présenter ce caractère. Cette apparente contradiction tient à ce que nous n'avons ici qu'une partie des racines; pour les avoir toutes, il faudrait changer s en — 5, ce qui revient à changer x en — x dans les équations des trois asymptotes et, par suite, A en — À.
94. Dans le cas particulier oii s = o, les deux derniers termes de l'expression de AJ^ se réduisent à des constantes, et la courbe tout entière se réduit à une parabole ayant pour axe l'axe des y.
Les deux racines intermédiaires s'annulent, et il reste seulement les deux racines extrêmes, qui sont égales et de signes contraires.
On voit que, dans ce cas, les racines de la seconde classe sont nulles, même lorsque la vitesse de rotation a une valeur finie. Par conséquent, des mouvements permanents peuvent se produire
sur un globe tournant, mais ils seront nécessairement exprimés par des fonctions harmoniques zonales, c'est-à-dire auront lieu suivant des parallèles.
Cette conclusion n'est actuellement établie c[ue dans l'hypothèse d'une profondeur constante; nous verrons bientôt qu'elle est encore vraie si la profondeur est uniquement fonction de la latitude, mais ne subsisie pas dans le cas plus général.
9o. Lois de profondeur permettant d'exprimer les oscillations contraintes par des séries limitées. Théorème de Laplace. — Supposons que la loi de profondeur soit donnée par la formule
avec /*= -zr~, et cherchons pour quelles valeurs des constantes
nous pourrons obtenir sous forme finie l'expression des oscillations contraintes correspondantes.
]Nous avons entre les coefficients A^^ de même parité une série d'équations de la forme
, =z un ternie connu en yl pour les deux
cc-';,.2 Af,, - L-;, K-^Tn A;', + 2 ^ premières équations
' = o pour les autres,
la première de ces équations ne contenant d'ailleurs que les deux coefficients de plus faible indice.
AlVCC la loi de profondeur considérée, les coefficients .^^,, y« sont égaux aux coefficients correspondants dans le cas d'une profondeur constante, respectivement multipliés par les facteurs
pour x],,
' " Zw^ *'""^- ( " -*- '^H « + 3 ) H j— pour y),.
Supposons (jue la bh de profondeur soit telle f|ue nous ayons
r ■>. M si 1
lyo PREMIKHE PARTIE. — CHAPITRE VII.
Nous aurons également
et nos équations se présenteront sous la forme
xi\l — MA^ +XA^ -Y^^ xi Ai — L-^ rV, -^ yl X-l = o.
■2^p ■iAp—i — l^p 2Ap 2 = o,
a-^2A-^2— L-^A'p ^rfAp+'2 =0,
— Lp+2Ap+2+}'p + 2Ap+4= O, ^p+2Ap-,2 L'p + 4. Ap|4-l- JKp-^4 Ap,6 = O,
Si donc nous faisons
A'p+2 = Ap+4 := A'p-i-6 = . . . ^ o,
les |- premières équations nous donneront les - inconnues Af, ,
A^,, ..., Ap, tandis que toutes les équations restantes sont satisfaites d'elles-mêmes.
Nos séries seront, par suite, limitées et se termineront par un terme en Pp .
Ainsi, il existe une loi de profondeur fonction de la latitude et dépendant de la période, et telle que les quantités Ç, cp, ... seront des polynômes entiers d'ordre p en fj..
La même démonstration s'appliquerait au cas d'un potentiel perturbateur représenté par une harmonic[ue de surface d'ordre /? ; la place des équations contenant le terme en y)^ serait seule changée dans la série, et nous en aurions trois en général.
p est nécessairement toujours de même parité que l'ordre du potentiel perturbateur; mais, que p — s soit pair ou impair, nous aurons toujours autant d'équations que d'inconnues.
96. Si, au lieu d'oscillations contraintes, nous avons affaire aux oscillations propres, les mêmes équations seront satisfaites dans les mêmes conditions, pourvu que X soit une racine de l'équation obtenue en égalant à zéro le déterminant des coefficients des A^^.
Ces oscillations particulières pourront donc également s'exprimer par une série d'un nombre fini de termes.
97. Résultats numériques obtenus par M. Hough. — 1. Cas ou 5 = 0. — Dans la première Partie de son Mémoire, M. Hough discute uniquement le cas de .s==o. Les solutions obtenues ne dépendent pas alors de la longitude, et s'expriment par des harmoniques zonales ; tout est donc symétrique par rapport à l'axe de rotation, et nous avons les oscillations de la première espèce de Laplace.
En se plaçant dans l'hypothèse d'une profondeur constante, M. Hough a calculé les oscillations propres et les oscillations contraintes d'une mer recouvrant toulle globe pour différentes valeurs de la profondeur.
98. A. Oscillalioiis propres. — Pour trouver les périodes, on résout, pour différentes valeurs de /?, l'équation
qui ne nous donne ici que deux valeurs égales et de signes contraires pour — :; puis la comparaison de la valeur obtenue avec
l'équation
permet de déterminer la valeur exacte de A.
On a ensuite aisément les coefficients A.,^ de la série exprimant la hauteur "Q de l'oscillation correspondante.
Pour certaines de ces oscillations, n sera toujours pair, et, si nous considérons, par suite, deux points de latitudes égales et de signes contraires, ces deux points auront le même "C. Pour les autres oscillations, n est toujours impair et. de part et d'autre de l'équateur, "C se change en — î^.
1" Types symétriques : n pair. — Par la méthode indiquée, M. Hough a calculé les six premières racines de l'équation aux périodes, et cela pour quatre profondeurs différentes de l'océan,
correspondant respectivement aux valeurs de -~ étrales à ' ' 4 w
40 io 10 J
172 PREMIÈRE PARTIi:. — CHAPITRE VII.
le rayon de la Terre étant pris pour unité; ceci correspond pour /«
aux profondeurs
Les périodes d'oscillations propres sont estimées en temps sidéral ; on a calculé également la valeur de ces périodes dans le cas où l'on ne tiendrait pas compte de la rotation [X- = n(n -\- i)^« A]- La Table suivante résume les résultats obtenus.
Profondeur. n = 2. n = 4. n = 6. « = 8. n = io. n=i-2.
Il m h m h ui li m h m h m
i'" t Valeur de la période. 18. 3 12. i3 9-43 7-59 6.43 5.46
( » (sans rotation). 32.49 i7-3o 1 1 . 58 9. 5 7.20 6. 9
\ Valeur de la période. i5.ii ro. o 7.33 6. o 4.57 i^.ii
^ ) » (sans rotation). 20.12 12.23 8.28 6.26 5. 11 4.^1
l Valeur de la période. 12.28 7-47 5.38 4.23 3.35 3. i
( » (sans rotation). 16. 25 8.45 5.59 4-33 3. 40 3. 4
l Valeur de la période. 9-52 5.49 4-6 3.9 2.33 2. 9
' I » (sansrotation). £i.35 6.11 4- '4 3.i3 2.36 2.10
On voit que l'influence de la rotation est considérable, surtout pour les faibles valeurs de n et les profondeurs moyennes.
Sur la Terre réelle, cette influence est beaucoup moins grande, parce que la mer ne recouvre pas le globe entier; elle serait négligeable dans un canal étroit.
2" Types dissymétriques : n impair. — Le calcul offre ici moins d'intérêt, parce cjue ces oscillations n'interviennent pas dans les marées réelles.
Voici néanmoins les résultats obtenus par M. Hough :
Profondeur. n = i. /i=z'o. n = b. n^-j. « = 9. n=ii.
Il m II m II m II m 11 m li ai
''"i \ Valeur de la période. 30.29 (4.i5 [o.5o 8.^7 7.18 6.12
» (sans rotation). 59.17 22.49 i4-i3 10.20 8. 7 6.4i
\ Valeur de la période. 25.28 [i.54 8.38 6.42 5.26 4-33
( » (sans rotation). 4i-55 16. 8 10. 3 7.18 5.44 4-44
i Valeur de la période. 20.59 9.33 6.33 4-^6 3.56 3. 16
I » (sans rotation). 29.39 11. 25 7. 7 5. 10 4- 4 3. 21
1 Valeur de la période. 16. 5i 7.19 4-Î9 3.34 2-49 '-*-20
^ I » (sans rotation}.' 20. 58 8. 4 5. i 3.39 '■■'■•S^ 2.22
99. Expression de la hauteur des oscillations propres. — Nous
avons les relations générales
qui s'écrivent ici, en tenant compte des valeurs de x^^ et y)j pour 5 = 0,
-^ = (-ir — i){-ir — i)H;.2,
et nous avons vu comment on peut évaluer les H et les K à l'aide de fractions continues.
On pourra ainsi, de proche en proche, évaluer tous les coefficients en fonction de l'un d'eux, A.,i^ pris arl)itrairement, et nous aurons pour l'expression de "C la série
Ç = A„ (?'•'[... -!-(•).« — \)(:in — o) (-2/1 — 5) (2/1 — 7)H„2H„4 P„4
-^{■1 rt— I ) {-i /i— 3 ) H,;2 P„ ,-hP„-K (2 /i+3 j fa rt+5) K„^2 P„+.2 -\-(-?.Ji -h 3 )(■>.« 4- :>){'in -I- 7) (2/1 -h 9)K„+2K,i+vP„+i-f-...],
où À est la racine de l'équation aux périodes correspondant à la valeur /i. l^es termes de part et d'autre de P^ convergent très rapidement.
Si l'on avait supposé la rotation nulle, l'expression de "Ç se réduirait au terme en P,^, [parce que les coefficients H et K. sont alors nuls.
Voici les valeurs de la fonction 'f correspondant aux deux premières oscillations propres envisagées ci-dessus, pour les diverses profondeurs :
km ■J.. . . \'-i I ,7,7 P; -i- o, J3 P,j O, I I P(, -^ . . .
(S . . . P2 — o, 40 P-, -t- 0 ,0) I',; — O ,00') Ps -i- . . .
•'.... o , 24 P2 + 11',. — o , s 8 Pc -+- o , '.G Ps — . . . i • . • () , I î p2 -r- p 4 — f> - i ■ fi; + " 1 '^6 Ps - - . . . 8 . . . 0,07 P2 -4- P; — 0,20 I-'g -t- 0,01 P.s — . . .
Plus la valeur de n est grande, plus l'oscillation correspondante se rapproche du terme P„.
On aurait des séries analogues pour les types dissymétriques.
100. B. Oscillations contraintes. — Si nous avons un potentiel perturbateur
Ge^-^=Y„P„([ji)e>-S
nos équations seront les mêmes que celles des oscillations propres à l'exception de celle contenant le terme en A„L„, dont le second
membre, au lieu d'être nul, sera éeal à — -^• On en déduit
4 to- ( H n-1 — ^^n -^ K,; + 2 )
et si, dans l'expression de la hauteur Ç de l'oscillation propre correspondant à la même valeur de /i, nous remplaçons A,; par cette valeur, nous aurons la hauteur de l'oscillation contrainte. Ici, )^ est donné et, par suite, H/^o — L„ + K,/^2- Oi^ voit que, si À est voisin d'une des racines de l'écpiation
H„—2— lvi-+- K„+2 = o,
l'oscillation contrainte prendra une très grande amplitude.
Or, cette équation est précisément celle qui détermine les périodes des oscillations propres : nous retrouvons ainsi l'influence du phénomène général de résonance.
11 est intéressant de comparer la hauteur de l'oscillation contrainte ainsi calculée à la hauteur que donnerait l'application pure et simple de la théorie de l'écjuilibre, soit
Ço = ^^>a P« ( M- ) e^^t = I^ p,^ ( ,^ ) e\t, S II
On a ainsi
i ^ l}Sn
Ço 4w2(H„2-L;, + K„+2)P«
[...+ (O.rt — l)(2n — 3)(2n — 5)(272 — 7)H„2H„4P„4
+ (2 71 — I )(2 n — 3) H„2 P„-2H- P«H- (2 /l -H 3) (2 /i H- 5) K„H2 P«+2 + (■2/2 + 3) (2/1 -+- 5) (271 -h 7) {in -+- 9j K„H 2 K„+4P„+4 -U. . .].
Le seul cas intéressant pour la théorie des marées est celui
de Ai = 2, qui donne hg
M. Hougli a calculé le rapport de la marée réelle à la marée d'équilibre pour les quatre valeurs de la profondeur déjà considérées. On trouve ainsi dans le cas de la marée semi-mensuelle lunaire
-!^ = —, l>,i- =o,'267P,— o,i68P4^-o,o4nP6...,
4 w2 4o "In
— j o,4o8P^ — 0, 167 P4-1- o O'iq Pg. . . ,
— j 0,570 Po — o iSg P4-f- o oi3Pc. . . ,
-) ■ 0,7^1 P9 — 0,097 P4-!- o,oo5P6. .. .
101. Imaginons maintenant que nous passions à la limite, en faisant tendre X vers zéro ; nous obtiendrons des séries qui diffèrent extrêmement peu de celles que nous venons de donner pour la marée mensuelle semi-lunaire.
Ces séries représentent de même très fidèlement les marées solaires à longue période.
Par conséquent, les marées à longue période, lorsqu'on fait
tendre \ vers zéro, ne tendent pas vers la marée de la tbéorie de
l'équilibre, puisque;!^ ne se réduit pas à l'unité; elles tendront
donc vers ce que nous avons appelé la marée statique de la deuxième sorte.
La dillérence est loin d'être négligeable, car, si l'on calcule les différentes fonctions zonales qui figurent dans le rapport des deux marées, on trouve pour l'équateur et le pôle les valeurs suivantes de ce rapport :
Profondeurs. Equateur. Pôle.
Km
