o, ()5 o, viS
17 0)79 0,ti2
La difïVrence est donc considérable; toutefois, elle est beaucoup moins grande dans la réalité, c est-à-dire quand il y a des continents.
102. II. Cas ou .s y^ o. — L'examen de ce cas, qui fait l'objet de la seconde Partie du Mémoire de M. Hough, concerne les oscillations qui dépendent de la longitude et s'expriment par des fonctions harmoniques de surface. C'est dans cette classe que rentrent les oscillations de seconde et de troisième espèce de Laplace.
M. Hougli a montré l'existence d'une classe particulière d'oscillations propres, et c'est là un des résultais les plus intéressants de son travail.
103. A. Oscillations propres. — Nous avons vu que ces oscillations, dont les périodes dépendent de to, peuvent se répartir en deux classes, selon que À tend ou non vers une \aleur finie lorsque la vitesse de rotation tend vers zéro : les oscillations de la seconde classe auront des périodes très longues.
Nous avons indiqué aussi comment pouvait se faire le calcul des périodes, et nous donnerons seulement ici les résultats numériques obtenus.
Il convient également de distinguer dans chaque classe les types symétriques et les types dissyiui'triques, selon que // — s est pair ou impair; mais toutes ces oscillations ne présentent pas un égal intérêt. Dans les Tables qui suivent, les périodes sont exprimées en temps sidéral :
Classe I.
Il ui h ni II m II ui li m ii m li m li n
j i/f'-ii I7-39 i->. .5i 14 .5^ II. 5 12. I 9. 8 9.24
( 24.24 08.34 19-'^ 26.54 i4-Jo 18.40 II. 6 12.5}
( i3.io 14.28 10.29 II. 8 8. 1 8.19 5.56 6. 4
Classe II.
j !■ j II j h ,i h j 11 j 11 j h j 1
Il = i. . . I . 1 3 )) 1-9 » \ . 5 » 1.3 ))
n = 'À... 16. o 6. o ii.i3 4-17 8.21 3.22 7-i' 'i.n
Ayant les périodes, on calculera aisément les expressions de "Ç et de cû et, par conséquent, des composantes du déplacement.
Dans chaque série, le terme qui renferme P^^ est prédominant et suffit, à lui seul, pour déterminer avec une approximation suffisante la position des parallèles nodaux.
Les oscillations obtenues sont des ondes se propageant autour
de la sphère avec une vitesse angulaire uniforme — . par rapport à
l'axe polaire et comprenant sur chaque parallèle un nombre de crêtes et de creux égal à s. Les valeurs positives de "a correspondent à des ondes se propageant en sens inverse de la rotation, c'est-à-dire vers l'Ouest; les valeurs négatives à des ondes se propageant vers l'Est.
Pour les oscillations de la seconde classe, nous n'avons que des valeurs positives de À, il y aura uniquement propagation vers l'Ouest.
Les trajectoires des molécules liquides sont des ellipses ayant leurs axes dirigés suivant les méridiens et les parallèles. Si co tend vers zéro, les oscillations de la seconde classe se réduiront à des mouvements permanents n'apportant aucune déformation à la surface libre.
104. B. Oscillations contraintes. — Si nous avons un potentiel perturbateur
nous obtiendrons de la même manière qu'au paragraphe 100. pour le cas de 5 = o, la profondeur étant toujours supposée constante,
4w2(H';,, — Lf,+ K^,+2)
d'où, en tenant compte des relations entre les coefficients successifs.
hrl, (»!i'h^lt
4w^ H-;,., — L-;, -h iv;,+., V ' ^n^-i^n+i Il est à remarquer que le terme prédominant de la série n'est
pas nécessairement P)"^ : ce sera le terme Pp, tel que la valeur de À qui entre dans l'expression du potentiel perturbateur soit très voisine de l'une des valeurs correspondantes relatives aux oscillations propres, déduites de l'équation U^ = o.
Dans le cas des marées réelles, nous aurons n = 2, et l'expression de la surélévation sera
hf., e---^+'~' / . Kl Kl K^
Si nous calculions cette surélévation d'après la théorie de l'équilibre, on obtiendrait
d'où
i ^ 4 "'A' .^D; /p, Kl p^, , KIK^ p^. , \
(;„ iKi-LijP^ \ ' ' ri '^ y%yi '^--'J-
M. Hough a calculé ce rapport pour diverses oscillations contraintes.
lOo. Marée solaire semi-diurne. — On a, pour les différentes profondeurs :
Profondeur.
km r
■2 P|r=- i,95P|- ^,iûP| + o,8iP|-...
8 — i9i,93P|— i:),7oP| — o,8[ P|+. ..
A l'aide d'une Table de fonctions spliériques, on peut calculer la valeur numérique de ces séries pour différentes latitudes; c'est ainsi qu'à l'équateur le rapport de la marée dynamique à la marée d'équilibre a, pour les profondeurs considérées, la valeur
On voit que dans un océan de profondeur supérieure à i^'"" la marée solaire semi-diurne serait directe à l'équateur; la profondeur décroissant, cette marée devient de plus en plus considérable et change de signe pour une valeur critique de la profondeur un
peu supérieure à 8*^"^; elle reste alors inversée, en diminuant d'amplitude, jusqu'à une seconde profondeur critique un peu supérieure à 2*"".
Le très grand coefficient de P^ pour la profondeur de 8*^"^ tient à un phénomène de résonance. Si nous nous reportons, en effet, à la Table des périodes des oscillations propres, nous trouvons à 8*"°, pour /i = 2 et s ^^ 2, une période de 12 heures i minute. Il j a donc concordance presque parfaite avec la marée solaire semi-diurne : d'où la résonance.
Pour 2'^'", nous avons bien une oscillation propre dont la période est de 12 heures 5 minutes; ce simple écart de 4 minutes suffit pour réduire de beaucoup la résonance et ne produire qu'une marée qui est moins de 10 fois supérieure à la marée d'équilibre.
Les chiffres donnés ci-dessus tiennent compte de l'attraction du bourrelet licjuide; en la négligeant, on obtiendrait d'autres séries dont les premiers termes sont respectivement
-T-i,09P|, -^ojPI, 4-9,3-iPL +',77Pi,
et qui donnent à 1 équateur, pour le rapport de la marée réelle à la marée d'équilibre, les valeurs
L'influence du bourrelet est donc assez considérable; d'une part, elle augmente la valeur du rapport, sauf dans le dernier cas de profondeur; d autre part, dans deux des cas, le signe de la marée est interverti. Cela tient à ce qu'une très faible variatioia dans la hauteur suffit à déplacer la valeur de h pour laquelle la période de l'oscillation contrainte est égale à celle d'une oscillation propre.
106. Marée lunaire semi-diurne. — Par des calculs analogues on obtient :
Profondeur.
km (^
■i Vî-f- — o, lol^l 4- o,58 Pr — o.igPg-T-...
« 9,i2P|-o,7iP|-i-o,o4P^-...
17 i,7GP|-o,o6P?-T-...
l8o PKEMIKKE PAirriE. — CHAPITRE VU.
Ces séries donnent, à l'équateur, pour le rapport de la marée dynamique réelle à la marée d'équilibre, les valeurs
— 2,42, -i,So, +11,07, +1,92.
La comparaison de ces valeurs avec celles obtenues pour la marée solaire semi-diurne montre que pour la profondeur de 2""" la marée solaire est directe, tandis que la marée lunaire est inversée ; le contraire arrive pour la profondeur de 8'^'".
Cela tient à ce que les valeurs critiques de la profondeur sont 2100'" et S'^oo'" pour la marée solaire, tandis qu'elles sont 1900'" et '^7800'" pour la marée lunaire. Il existerait, par suite, deux limites de profondeur, entre 1900'" et 2100'" d'une part, puis entre ■^800'" et 8-00'" d'autre part, pour lesquelles l'une des marées serait inversée sans que l'autre le soit.
Pour ces profondeurs, le phénomène usuel des marées de syzygies et de quadratures serait inversé : les plus hautes marées se produiraient à l'époque des quadratures et les plus basses à l'époque des pleines et nouvelles lunes.
Si la mer recouvrait tout le globe, il faudrait donc conclure de l'allure des marées réelles que la profondeur de l'océan n'est pas comprise entre ces limites et que, par suite, cet océan n'est susceptible d'aucune oscillation propre dont la période soit comprise entre 12 heures lunaires et 12 heures solaires.
On trouve dans le Mémoire de M. Hough quelques calculs analogues relatifs au cas où la profondeur est exprimée par une loi de la forme
A = a-H [3cos2 6.
107. Marées diurnes. — La profondeur étant supposée constante, nous savons, en vertu du théorème de Laplace (§ 80), que les oscillations de la seconde espèce sont nulles. Seulement, ce résultat ne s'applique en toute rigueur qu'à la marée sidérale pour laquelle \ = iio. Cette condition est assez approximativement réalisée encore pour la marée diurne solaire, elle l'est moins pour la marée diurne lunaire : ces deux marées ne seront pas rigoureusement nulles.
Pour les quatre profondeurs déjà considérées, on a, en ce qui
rofondeur.
km ■2
LIQUIDE PESAM' IlECOUVRANT UNE SPHERE TOURNANTE.
concerne la marée lunaire :
— o,o8P.]-t-o,OaP! -.
— o,i7P.^-^o,ojPf — .
— o,4iP| + o,07P.; — .
On voit que cette marée est inversée, et que, pour une grande profondeur, elle arrive à être supérieure à ce cjue serait la marée static[ue de première sorte.
Gela tient d'abord à ce que A s'écarte un peu de ito; mais cette raison ne suffit pas, car pour les autres profondeurs la marée est très faible. Nous nous trouvons, ici encore, en présence d'un phénomène de résonance. L'oscillation contrainte considérée a^ en effet, une période d'un jour lunaire, soit environ i jour i heure. Or, si nous nous reportons au Tableau des oscillations propres, nous voyons que la première oscillation de la deuxième classe a précisément une période qui tend vers cette valeur.
Pour une profondeur plus grande, on aurait une résonance plus parfaite : d'où la dérogation apparente au théorème de Laplace.
