CHAPITRE YlII
ÉTUDE DES MARÉES STATIQUES DE LA SECONDE SORTE. INFLUENCE DU FROTTEMENT.
108. Novis avons vu (§101) que les marées à longue période calculées parla méthode de M. Hough ne tendent pas vers la marée statique de la première sorte, lorsque A tend vers zéro, et que la ditlerence était assez considérable.
Ce résultat est de nature à modifier les idées généralement reçues au sujet des marées à longue période. Jusqu'ici, on les calculait, d'après Newton et Laplace, par la théorie de l'équilibre, ainsi que nous l'avons fait au Chapitre JIl : la discordance est trop importante pour que cette métliode soit légitime, et il y a lieu d'étudier spécialement les marées statiques de la deuxième sorte.
Mais une autre question se pose. Nous savons (§i26) que s'il existe un frottement, si faible soit-il, la limite des marées à longue période, lorsque X tend vers zéro, doit être la marée statique de première sorte. Comme on ne peut admettre que le frottement soit rigoureusement nul, il semblerait donc que les conclusions de M. Hough soient ei^ronées. Cependant, il convient d'examiner la question d'un peu plus près. Ce que nous appelons marées à longue période, ce sont, par exemple, les marées semi-mensuelles, mensuelles, annuelles, etc. ; les plus importantes ont leurs périodes variant de i 5 jours à un an.
Est-ce assez long pour qu'on puisse faire A = o et vers quelle limite tendra-t-on? De deux choses l'une: ou bien le frottement aura le temps de se faire sentir, et alors nous aurons une marée de la première sorte ; ou bien son inlluence ne sera pas appréciable, et la marée sera de deuxième sorte.
Nous verrons qu'il faut une dizaine d'années pour que le frottement puisse se faire sentir; par conséquent, h^s marées annuelles
ÉTUDE DES MARÉES STATtQVES DE LA SECONDE SORTE. l83
et de périodes plus courtes seront bien de la deuxième sorte ; au contraire, la marée ayant pour période i8 ans serait une marée de première sorte, que l'on devrait calculer par la théorie de équilibre.
109. Considérons donc une force perturbatrfce de très longue période. En supposant que l'influence du frottement soit négligeable pendant la période de l'oscillation, la surface des mers prendra ime forme d'équilibre qui différera de la figure d'équilibre statique proprement dite. Ainsi que nous l'avons vu au Chapitre I (§ 22-23), les paramètres cja se réduisent à des constantes, et les paramètres qi, sont proportionnels au temps : les dérivées q'^ sont constantes, mais non nulles. Il en résulte que cet état particulier d'équilibre est caractérisé par Texistence de courants continus qui régnent sous la surface libre, sans altérer sa forme.
Voyons ce que peuvent être de semblables courants.
Reprenons les équations du mouvement d'un liquide tournant autour de l'axe des :;.
d'^u dv d(\ — p)
—rr — '2 to -r- = j — - — ,
dt- dt dx
d- V du rf ( V — p)
-r— + i. OJ —r- = ; '— ,
df^ dt dy
dn ~~ TTz
f^es courants étant permanents, nous aurons
du ,
—r- = u = const.,
df '
dv
dw ,
— r- =: w = con«t.
dt
D'autre part, on a
, du , du , du
—, — — ic -
dn
dx dy dz
mais, dans les marées, les déplacements des uiob'-cules étant des quantit<'-s très petites, de même que les vitesses et leurs dérivées.
l84 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
les termes tels que u' -j- sont du second ordre, et l'accélération se
réduira à m", c'est-à-dire à zéro.
Les écjuations du mouvement deviennent alors
Z.KXJV 7
dx
dr
^ d(Y-p) dz
Il en résulte que
— iiov' dx -1- -iitiu dy = d{y -
c'est-à-dire que
v' dx -+■ u' dy
est une ditïérentielle exacte.
Par conséquent, il faut d'abord que v' et u' ne dépendent que
de X etj»', soit
du' dv'
et ensuite que
du' dv'
dx dy '
ce qui, joint à l'équation de continuité, donne finalement
du' dv' dvç>' dz dz dz
Ainsi, les composantes w', v' ^ w' de la vitesse d'une molécule ne dépendent pas de z.
L'ase des :; est l'axe de rotation de la Terre. Si donc nous figurons, d'une part, la surface des mers et, d'autre part, la surface irrégulière du fond, et cjue nous menions par un point A de la surface libre une parallèle à l'axe de rotation jusqu'à sa rencontre en B avec le fond, toutes les molécules liquides situées sur cette parallèle seront animées de vitesses égales et parallèles. La droite AB devra donc se déplacer en bloc, parallèlement à elle-même, comme une droite rigide {Jig- 20).
De plus, puisque le mouvement est permanent et n'altère pas la surface libre, il faudra que la droite AB se déplace sur la surface d'un cylindre tel que ses génératrices conservent la même Ion-
ÉTUDE DES MARÉES STATIQUES DE LA SECONDE SORTE. l85
gueiir. Par conséquent, les lignes de courants, c'est-à-dire les positions successives d'une même molécule liquide, seront les lignes d'égale profondeur de la mer, cette profondeur étant esti-
Fii
mée parallèlement à l'axe de rotation. Si nous représentons cette profondeur par y,, les lignes de courants seront données par l'équation
■q =^ ce 11 st.
Une molécule qui se trouve à un moment donné sur la surface d'un de ces cylindres ne pourra pas en sortir.
110. Si, par le point A, nous menons la verticale AC, nous constituerons avec AB, en supposant la profondeur h infiniment petite, un petit triangle qui nous donnera
cosO
L'équation des lignes de courants peut donc s'écrire
;osO
const.
11 en résulte que, si la profondeur n'est fonction que de la latitude, les lignes de courants devront coïncider avec les parallèles : les seuls mouvemeuts permanents possibles seront ceux pour lesquels les molécules d'eau n'éprouveront pas de déplacement en latitude (cf. § 94).
Dans le cas général, celte conclusion ne subsistera plus ; on
l86 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPIïRI': VIII.
pourra tracer les lignes de courants sur une Carte hydrographique si les sondes y figurent en nombre suffisant.
Mais, quelle que soit la loi de profondeur, l'équateur sera une de ces lignes de courants, correspondant à une valeur infinie du
rapport r-; et les rivaoes seront d'autres lignes correspondant
' ^ cos 0 o o I
à la valeur zéro. Vers les points où la ligne de côte coupe l'équateur, convergeront une infinité de lignes de courants.
M. Hougha essayé de tracer ces lignes sur les Cartes de l'Atlantique Nord et a reconnu qu'elles ne présentaient aucun rapport avec les résultats de l'observation. Il est vrai que les courants observés ne sont que des courants superficiels, et que les variations de densité et de salure provenant de l'évaporation peuvent entièrement masquer le phénomène.
Nous pouvons voir, en efiet, combien sont faibles les courants permanents produits par les marées statiques de la deuxième sorte.
111. Pour nous faire une idée de l'ordre de grandeur de ces courants, rappelons que les marées statiques de la première sorte produisent une déformation qui équivaut à une variation périodique de l'aplatissement. Cette variation pourrait également résulter d'un accroissement dto de la vitesse de rotation de la Terre. Considérons donc l'action à longue période de la Lune, par exemple, et cherchons à quel accroissement de vitesse elle équivaut. Il nous suffira, pour cela^ de comparer le potentiel de la Lune à l'accroissement de potentiel qui résulte de r/co.
Si la vitesse varie de c/w, le potentiel — (x- -r J"^), d'où dérive
la force centrifuge, éprouvera un accroissement
(.0 diii ( cc^ -i- ■}■- ).
Or, si nous prenons le rayon pour unité,
^'- -^7' == 77 ( ^^ ^- r- -1- 3- ) -H - f X- -t- y- — -iz-) = ^ -^^ -(i — 'i a^ ).
Par suite de cette variation, l'accroissement du potentiel
sera donc
(jùdoj ^
D'autre part, le terme du potentiel lunaire correspondant aux ondes à longue période est
-^(i-3,u2)(i-3sin28),
0 étant la déclinaison de la Lune et o sa distance à la Terre. Par conséquent, l'action lunaire à longue période équivaut à un accroissement de la vitesse de rotation terrestre déterminé par
l'égalité
, 3 L ., • ., fv
oj nw = r (1 — jsin- 0).
Or, on a
n étant le moyen mouvement de la Lune.
Donc
dw 3 1^ «^ , ., • 1 'vx — = T 7f — (' — osin^û).
W 4 1 co-
Or, en valeurs numériques,
et sin- 0 varie de o a 7-
11 en résulte qu'en moyenne
doi 3 j I I I
— = =z erivu'on.
w 4 S So 7>.() 100000
Mais, ainsi que nous l'avons vu (§ 100), dans la marée statique de deuxième sorte, l'amplitude est encore plus faible, d'environ moitié en moyenne, parce que les courants produits compensent en partie l'action statique de la Lune.
Ces courants peuvent donc être évalués à de la rotation,
ce qui fait seulement 6"' ou -"' environ par heure. Ils sont donc beaucoup trop faibles pour que l'observation puisse les déceler ; et, par suite, on ne peut pas compter sur leur constatation pour mettre en évidence que, conformément aux idées de M. Hough, le phénomène des marées à longue période consiste bien en une marée statique de la deuxième sorte.
l88 PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE VIII.
On pourrait, semble-t-il, observer directement la marée, et particulièrement au large, là où le phénomène n'est pas troublé par la présence des continents. Jusqu'ici, le problème a rencontré de nombreuses difficultés, mais les résultats récemment obtenus à l'aide du marégraphe plongeur de M. Favé permettent d'espérer beaucoup des recherches poursuivies dans cette voie.
En attendant, il ne reste qu'une seule ressource, c'est de calculer le temps d'amortissement des ondes sous l'influence du frottement, et de le comparer aux périodes.
112. Calcul d'vme marée statique de la deuxième sorte. — Nous avons vu comment la méthode de M. Hough permet de calculer les éléments de ces marées dans le cas d'une profondeur constante, ou même fonction seulement de la latitude. Nous nous proposons ici de traiter le problème d'une façon absolument générale.
Si nous imaginons une molécule x, y, z de la surface libre, elle se déplacera, sous l'influence des courants permanents qui caractérisent cette espèce de marée, suivant une ligne de courant dont l'équation différentielle sera
dx dy dz u' v' w'
Posons, comme toujours,
