X- CD = V — p

On a ici (§ 109)

<i(V — p) = — ■l^^iv' dx + i(X)u' dy,

c'est-à-dire, en vertu de l'équation différentielle de la ligne de

courant,

Ainsi, le long des lignes de courants, es est une constante : cp est

donc fonction de yi = ^ :

cos b

(1) cp=/

cos 6 Le problème est ramené à la détermination de cette fonction.

Récrivons l'équation générale du § 77,

et supposons d'abord que la profondeur h dépende seulement de 9 : c2 va dépendre aussi seulement de 9, et toutes les expressions es, ^, Ge^^, n" qui, pour une oscillation quelconque, pouvaient se mettre dans ce cas sous la forme e^'4'+^^ /"(^G), se réduiront ici, puisque 5 := o, à e^^/(9).

Dans ces conditions, l'équation (3) prend une forme simple, car les dérivées par rapport à 'l disparaissent.

D'autre part, X est très petit; nous allons donc chercher quelle forme limite prend l'équation pour X = o.

Nous aurons alors, sensiblement, en négligeant A- devant l'unité,

X'^-t- 4 w- cos- 0 4f""^cos-6'

o, (oX/î cosO XA

X^H-4w-cos-6 atocosô

Le déterminant fonctionnel sera nul, puisque ni ho ni o ne dépendent de '|.

Dans le premier membre de l'équation (3), il ne restera donc que le premier terme, dans lequel s'introduira )^^©.

Posons

(4) X2çp = <p.

L'équation (3) se réduira alors à

d / /isinf) d-PX

a(J \i oj2 cos-fj du I

De plus, nous avons toujours la relation générale

* — n"— GeXï

qui donne ici, en faisant X = o dans l'expression du potentiel perturbateur,

igo PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE VIII.

Enfin, "C, et IT" sont liés par la relation

dans laquelle c/o-' représente un élément quelconque de la surface, ^' la valeur de ^ au centre de gravité de cet élément et ?' la distance de ce centre au point de coordonnées courantes H et 'b.

Nous avons donc, entre les trois quantités ^, $ et II", les trois relations (5), (6) et (7), qui les détermineront.

Le problème se réduit à l'intégration d'une équation diflerentielle ordinaire à une seule variable.

Si on néglige le bourrelet, on aura, pour déterminer <I>, une équation linéaire.

113. Cas où la profondeur est quelconque. — Deux approximations successives seront alors nécessaires.

En première approximation, nous négligerons X devant l'unité : /1.2 est, dans ce cas, beaucoup plus grand que A|, et nous pourrons négliger tous les termes de l'équation (3), à l'exception de celui qui contient /io. Cette équation se réduit alors à

c'est-à-dire que z> est une fonction de h^. Nous retrouvons ainsi le résultat déjà obtenu, que o doit être fonction de '/].

En deuxième approximation, nous tiendrons compte de X, mais nous négligerons A- devant l'unité. Alors, les formules approchées pour hi et h-y restent vraies.

Dans le premier membre de l'équation (3), c'est donc le derniei" terme qui sera le plus important, puisqu'il sera de l'ordre de À, tandis que les deux premiers sont de l'ordre de A-. Par suite, nous n'aurons pas le droit d'y remjjlacer o par la valeur /'(y]) que fournit la première approximation, mais nous pourrons faire cette substitution dans les autres termes.

Effectuons alors un changement de variables, en prenant comme variables nouvelles tj et ^ : les dérivées par rapport à ces variables seront représentées par des ^, tandis que nous réserverons les d ordinaires pour les dérivées par rapport aux anciennes variables.

Nous aurons, du ne manière générale,

D'autre part,

d( h.2, cp ) d( hi. 91 Oi T,. 'l )

Oi'. nous avons

Par conséquent.

/lo =

d( lu, 'J ) di r,, ■]/ )

fJ(T,.'^)

Donc

[1 importe d introduire des notations abrégées pour ne pas trop allonger les écritures. Posons

h sinO t/r,

çh] __ dr^ f/'i d'b '

4 nj-cos- 0 si 11 6 c/'l/

et muiliplioiis les deuv membres de léquation (3 ) par F. Le premier terme donnera

en posant

„ dr d ,' . ^ do , d I , . , do \

d'> âr, \ ' f/0 / t/r, ' ' d') /

. , do '/,-A<iiiO dr. oo . ,,

Al «111 0—^ = — f -^ = A*

</0 4w-^cus-0 r/O c/f.

or,

On a donc, pour le premier terme,

Avec la valeur de cp en première approximation, on a

le second terme de (3) nous donnera d'abord

dt] à / /il do\ di] ô / X'^ h d-q do \ dr^ ^(T)a,'\

d^ii ât] \sin6 d'\i / d'^i dri \4 w- cos- 6 sinO d<ii àrj d<^ ô(\

c'est-à-dire, après avoir multiplié par F;

Tir • -1 I 1 ^ f^U

Mais il y a encore le terme correspondant a — r? soit

ou, après multiplication par F, et remarquant que $' peut être considéré ici comme indépendant de ']>,

Enfin, nous avons le déterminant fonctionnel, dans lequel il n'est plus permis de regarder o comme indépendante de 'i, et qui nous donne le terme

Après le changement de variables, l'équation (3) devient donc

(8) il(A'ï>') + Bf-(D*')H-F— *'H--^ — =FÇsine.

^ ' dr^ 01] d<J(i -loik oii