G = A + BD

07] dï] Oi\l

ÉTLDIi DES MARÉES STATIQUES DE LA SECONDE SORTE. igS

En remplaçant ^ par sa valeur, et développant, nous aurons /^^v TT^, ' ^* FsinO^ Fsineil" FsineC

2tuA c;'!; .^ ,^ ^•

I i'r> • ^ ,T F sin 6 C II- • 1

Les coeiiicieiils (j, ri, , — sont des tonctions connues de 'f\

et de ']>, qui sont périodiques par rapport à 'J>.

Nous pourrons les développer en séries de Fourier suivant les cosinus et sinus des multiples de -i, et nous obtiendrons ainsi un premier terme qui sera une constante, représentant la valeur moyenne de la fonction. Si nous considérons, par exemple, le coefficient G, n'ous désignerons sa valeur moyenne par [G].

4>", $'et<ï> peuvent être considérées comme des constantes en di, parce que nous pouvons y remplacer cp par sa valeur de première approximation; la valeur moyenne de G4>" sera donc[G]<î>" et nous aurons de même [H]<î>' et [FsinGjO. Mais, dans le terme

— r provenant du déterminant fonctionnel, nous n'avons plus le

droit de faire cette substitution. Seulement, <î> étant une fonction périodique de -J;, si je la différentie, j'obtiendrai encore une série (le Fourier, dans laquelle le terme constant sera nul.

Ce terme a donc une valeur moyenne nulle, et, en égalant dans les deux membres de l'équation (9) les termes indépendants de 6, il reste simplement

Si l'on suppose d'abord qu'on puisse négliger le bourrelet, le terme en H" disparaît, et l'on a une équation différentielle dvi second ordre dont tous les coefficients sont des fonctions connues de Tj. Cette équation nous déterminera <ï> et, par suite, Ç

Si l'on veut tenir compte du bourrelet, on commencera par le négliger et on calculera ([^ : on en déduira II", l'équation pourra s'intégrer de nouveau, et ainsi de suite.

On voit que, même dans le cas général, il est possible de faire le calcul complet.

I lo. Lorsqu'il s'agit d'une marée statique de la première sorte, le calcul est beaucoup plus simple, parce que l'on a, les courants I'. — m. i3

étant nuls,

Alors, Ç et II" sont donnés par les éqiuitions

y ^ — n"-G et

116. Influence du frottement, d'après les travaux de M. Hough. — C'est dans l'estimation du temps d'amortissement des ondes que M. Hough a cherclié la justification de sa théorie des marées statiques avec courants permanents {voir t. XXYIII des Proceedings of the London Mathematical Society, décembre 1896).

Le problème général de l'étude du frottement est extrêmement compliqué; mais, s'il s'agit seulement de se faire une idée de l'ordre de grandeur du phénomène, on peut se borner à la considération d'un cas très simple. En conséquence, nous négligerons la force centrifuge composée et nous ne tiendrons pas compte de la sphéricité; de plus, nous supposerons que la mer, ainsi limitée à une surface horizontale, est soumise à la seule action de la pesanteur, et que sa profondeur est constante. Enfin, nous considérons simplement la propagation d'une onde plane.

En désignant par v le coefficient de viscosité, les équations du mouvement d'un liquide visqueux s'obtiennent en ajoutant aux seconds membres des équations

d-u d(y — p) le terme v A

df- dx

du ~di'

Il s'agit d'oscillations périodiques, dans lesquelles les déplacements sont proportionnels à e^-^ et ne dépendent pas autrement de l\ alors, la première équation s'écrit