Reste à déterminer les valeurs des constantes A,B,C, D
Nous nous servirons, pour cela, des conditions aux limites.
Nous compterons ici les profondeurs à partir du fond, dont l'équation sera :: = o ; l'équation de la surface sera alors z = h.
La surélévation w étant ainsi estimée positivement dans le sens du décroissement de la pesanteur, la condition à la surface libre s'écrira
Mais cette équation exprime simplement que la pression stir la surface libre est une constante. Cela suffit dans un liquide dépourvu de viscosité, parce que la pression est toujours normale à l'élément, mais il n'en est plus de même si nous faisons intervenir le frottement. Il nous faudra écrire de plus que la composante tangentielle de la pression est nulle à la surface libre, puisque cette pression doit se réduire à la pression atmosphérique qui est normale.
Or, la théorie de la viscosité donne pour composantes de la pression tangentielle
/ clw du \ / du dv , / dç dw \
\ dx dz I \ dy dx j ' \ dz dy )
Ici, les deux dernières com|)osanles sont nulles et il n'y a à considérer que la première, qui nous fournit la condition
(hv du dx dz
(g) inuv -i- «'= o.
Or, en vertu de l'équation de continuité, nous avons, dans tout
le liquide,
imu -t- w' =■ o.
Par conséquent, on a, à la surface libre,
(lo) w" -+- m- w = o.
D'autre part, nous tirons des équations (6) et (^)
d'où, en substituant dans (lo),
(il) {k--\- m-) Wy -\- 2 m- (Po = o.
Or, si nous nous reportons à l'équation (5) qui détermine X:^, noîis voyons que, le coefficient de viscosité v étant toujours très faible, k- sera nécessairement très grand.
Par conséquent, en négligeant les termes de l'ordre de -r^} l'équation (i i) se réduit à
Nous avons donc, sur la surface libre,
et, d'après la seconde des équations (2), puisque wl = m- Wq, On tire de là
et l'équation (8) devient alors
(12) g-m^- (Vo 4- X2 tv'o = o.
119. Voyons maintenant ce qui doit se passer au fond. D'abord,
il faut que la composante normale du déplacement soit nulle,
donc
Mais nous devrons, par suite de la viscosité, satisfaire aussi à une autre condition, laquelle dépendra de la nature de la relation
de l'eau avec les parois. Nous pouvons, à cet égard, faire deux
hypothèses extrêmes :
1° Ou bien le frottement est tel que le liquide ne puisse pas
glisser sur le fond; alors nous aurons, non seulement «■ = o,
mais encore
2" Ou bien il n'y aura pas du tout de frottement sur le fond, et alors nous devrons exprimer, comme à la surface libre, que la composante tangentielle de la pression est nulle.
J^a première hypothèse étant la plus favorable à l'action du frottement, c'est elle que nous admettons. Ainsi, au fond,
L'équation de continuité entraine alors également
Considérons l'expression de (V),
wi = Ce/'- M- De-/-.
Nous avons vu que k est très grand ; par conséquent, les deux termes de (t^, varient très rapidement avec z.
l^e premier terme sera beaucoup plus grand près de la surface qu'à l'intérieur, et le second beaucoup plus grand près du fond. Comme cv, doit rester fini, il faut admettre que le terme Ce^' ne sera sensible qu'au voisinage de la surface. Pour z. ^^ h , nous aurons sensiblement
(Pi = Ge/'~, w\ = Atï-'i.
Vers le fond, au contraire, le seul terme sensible sera le terme en e'^^' et, pour 5 = 0, nous aurons
«'] = De—/'-, w\ = — An'].
Eu tenant compte de celte dernière relation, les équations (i3)
et (1 4) s'écrivent
n'y /."lï-'l ;^ O.
Par conséquent, on doit avoir au fond
( i J ) (v„ -(- A(Vo = o-
120. Les deux relations (i5) et (12) doivent être respectivement satisfaites pour ;; ^ o et z = h. Elles nous donnent donc
d'où
et
mi Ae'"''— Be-'"/'
/i étant petit par rapport à la longueur d'onde, le produit in/i est un nombre petit, et l'on peut écrire sensiblement
On a alors
m- ni — /." -1- m- h
11 faut conserver kmh vis-à-vis de m, parce que k est très grand, mais on peut négliger m- li devant k et il reste
Si le frottement n'existait pas du tout, on aurait v = o, k serait infini, et l'on aurait simplement
d'où, pour la vitesse de propagation,
= s/Jh.
C'est le résultat que nous connaissions déjà.
Si, au contraire, il y a frottement, il faut se rendre compte de la
signification de k. Nous avons
vik-^—m"-) = l
KTUDE DES MAREES STATIQUES DE LA SECONDE SORTE. t.oI
OU, sensiblement, en négligeant m- devant A-,
V est réel, A est purement imaginaire : par suite, k- sera purement imaginaire et aura pour argument - • k sera donc une quantité
essentiellement complexe, d'argument -• Mais la valeur qui résultera alors de l'équation (i6) pour ). ne sera plus purement imaginaire, et nous pourrons poser
Substituant dans (16), nous aurons, en négligeant y^j
Xo = tni y ffh,
•iXoX, = /n\^, d'où
uni Ai =
2 i si gh D'autre part, on a, avec la même approximation,
ou, en remarquant que
Par suite
X, gm'^^r^ i , -,
'is/'i(ghy
et cette expression complexe a bien une partie réelle négative comme cela devait être, puisque, l'argument de k étant -^j et celui
de "A|, — -1 l'argument de ^ doit être :- •
Si donc nous posons
I I gin'- V-
2 \J'i{ghy
nous aurons
L'amplitude de roscillation, qui est proportionnelle au module e~°'^, ira donc en décroissant avec le temps ; et la partie réelle a de A mesurera la rapidité d'amortissement de l'oscillation.
