JNous allons introduire les notations suivantes. Soient
des fonctions quelconques du temps;
leurs dérivées. Posons
E(^/) = Ho(a;',)-Ho(:r/),
les fonctions Hq et Ho ayant les mêmes degrés respectifs par rapport aux Xi et x\ que nos fonctions habituelles de même désignation en cji et q'-. Dans ces conditions, E sera un polynôme homogène de deuxième degré en x et x' , c'est-à-dire une forme quadratique sans terme en xx' .
Considérons maintenant une forme quadratique quelconque F (a?) et posons, par définition^
■X dy
Si, dans cette expression, on fait y = x, on aura, d'après le théorème des fonctions homogènes,
OSCILLATIONS l)'uN SYSTÈJIE MÉCAMQUE. 23
De même
F(x,y) = F(y,x'), F{ax -^ by) = a^-F(x) + b-^F{x) -\- 2abF{x,j^).
Ces relations expriment les propriétés générales des formes quadratiques.
Enfin, nous poserons
14. Application au cas des oscillations propres. — Considérons une oscillation propre formée par la combinaison de deux oscillations propres harmoniques
gi= qij^ que,
qij et cjik étant les valeurs du paramètre qi correspondant respectivement aux racines \j et Àa de l'équation (8). L'énergie de cette oscillation sera
F{qi) = F{qij) + Eiqik) -t- aEC^/y, qn,)
ou, en mettant en évidence les éléments de chaque composante,
E(^/) = e2V[X}H,(7,y)-Ho(a,y)]+e^>-.'[}4H,(a,7,j-Ho(a,,.)]
Nous avons donc
F{qij)r^e^h^,
F{qij,qiu)^eOi+\u)t,
Or, dans le cas des oscillations propres, le système étant soustrait à l'influence des forces extérieures, l'énergie doit rester constante. Il faut donc que tous les termes renfermant des exponentielles disparaissent. Ainsi l'on aura
F{qij) = E(^//,) = 0.
Si Ay -t- A/i-^ o, nous aurons également ^{qu^qn^) = o- Mais, si \j -f- Aa = o, ce dernier terme ne sera plus nul.
a4 PHEMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
Dans ce cas, l'équilibre étant supposé stable, et l'équation en \ ayant, par suite, toutes ses racines purement imaginaires et conjuguées deux à deux, nous avons qii^^=Sij^ Sij étant l'oscillation harmonique comi)lexe imaginaire conjuguée de ^,7, et qi sera une oscillation propre harmonique réelle.
Remarquons que Ho, énergie cinétique dans le mouvement relatif, est une somme de carrés toujours positive ; — Ho, qui se réduirait à l'énergie potentielle U s'il n'y avait pas de rotation, pourrait alors être considérée comme positive également dans toute position du système, puisqu'il serait toujours permis d'attribuer la valeur zéro au minimum de U qui correspond à la position d'équilibre stable. Bien que, dans le mouvement relatif, cette condition ne soit pas nécessaire à la stabilité de l'équilibre, nous nous restreindrons toujours désormais au cas où Ho et — Ho sont deux formes quadratiques dé/i nies positives.
Dans ces conditions, je dis que l'équilibre restera stable, c'està-dire que X est purement imaginaire.
En premier lieu, \ ne peut pas être réel. En effet, si Ay était réel, ç'/y le serait, JLÇqij) serait une somme de carrés et ne pourrait donc être nul : donc, pas de racines réelles possibles.
En second lieu, X ne peut pas avoir de partie réelle. En effet, si les racines avaient une partie réelle, en prenant pour X^ l'imaginaire conjuguée de ).y, Xy -h X/> ne serait pas nul et qi serait réel. E(^/) devrait donc être positif; or, tous ses termes sont nuls.
Nous devons donc nécessairement supposer que Ay est purement imaginaire. Alors, en prenant deux racines imaginaires conjuguées Xy et X/f, on aura bien vme oscillation propre réelle qi pour laquelle Xy -f- A/, = o et l'énergie se réduira à
E{g^) = iE{q,j, s,-j) = - •2[Xj H,.(a,y, j3,y.) -+- Ho(a,y, .6,y)].
Les paramètres n'étant d'ailleurs déterminés qu'à un facteur constant près, on pourra toujours choisir ce facteur de manière que
On voit que, dans l'expression de l'énergie d'une oscillation propre complexe quelconque, tous les termes E(^/y), ^(q/k)-, E,(qij, qih) disparaîtront, sauf les termes ^[qij^Sij) correspondant
OSCILLATIONS d'uN SYSTEME MÉCANIQUE. 20
aux oscillations harmoniques conjuguées. L'énergie totale sera donc égale à la somme des énergies des oscillations propres harmoniques réelles.
15. Application au cas des oscillations contraintes. Détermination de u.j. — Supposons que nous considérions une oscillation contrainte quelconque Çi formée par la solution particulière qf des équations avec second membre, à laquelle on a ajouté une oscillation propre quelconque s^-,
9' — q1^ su,,
Sik ayant pour imaginaire conjuguée l'oscillation propre ^//,, de telle sorte cjue
Nous aurons pour l'énergie de l'oscillation contrainte
Le premier terme contient en facteur e-^^. Le deuxième terme contient en facteur e"-^//. Le troisième terme contient en facteur e^^~^-^)^ Considérons exclusivement ces termes en e^'^^^/^^^ dans la relation fondamentale
Le premier membre nous fournira 2 (X — )^/,) E (^7°, 5,7,).
Or, chaque terme de E ((7°, sik) est proportionnel au paramètre cfi correspondant et se décompose, par suite, d'après la formule (i i), en une série de termes ayant respectivement en dénominateur À — Ay (/ ^^= I? 2, ..., 2 /i). Faisons tendre maintenant A vers ).a.
Dans chaque produit (à — )./,) q] ^ tous les termes tendront vers zéro, à l'exception d'un seul, celui qui contiendra précisément A — A;; en dénominateur, et nous aurons
liinfA — A/,)ry« = a,/, e''-' 2^ K/, u./.- ^A/. = ^//a e >-->-^"S K/, [jl/,[3/,/„ d'où
lim(X -Xa-jEC^O. Sik) = e'>-->'."Er<7//,, 5,-,,)^ Iv. !^/.3/,/,.
26 PREMIÈRE PARTIK. — CIIAPITRU I.
Nous avons donc, pour X = A^,
•2 E ( qik, Sik)^ Ka V-k '^kk = — A/.- - K/t [3a/,. Mais nous savons que
E(^jA-, 5/A-) = I.
Il en résulte que
ce qui déterinine les coefficients u.
En posant
l'expression (i i) de l'oscillation contrainte peut alors s'écrire sous la forme
16. Détermination des racines de l'équation A(X) = o- — Nous allons montrer que les dillerentes racines de l'équation (8) peuvent être obtenues en considérant les minima successifs du rapport de deux formes quadratiques.
Supposons deux formes quadratiques
X|, Ko, ..., X,/ étant des fonctions linéaires des variables :r|,
