A la surface libre, nous avons toujours (§ o
(2) ^r =X2o— n"- Ge)-'= À2cp — W,
en posant, pour abréger,
w = n"-f- Ce'-*.
Si nous avons seulement affaire à un réseau de canaux étroits, n" sera négligeable.
Si ce réseau débouche dans un océan étendu, il faudra tenir compte de El". Mais les marées du réseau n'auront pas une influence sensiljle sur celles de l'océan, qui de\ront être considérées comme données : on pourra, par suite, calculer 0", et W sera donc connu.
Dans le cas des oscillations propres, Ge^'^^^o. Si, de plus, il s'agit seulement de canaux, on aura W = o et il restera simplement
126. Les équation? précédentes sont encore valables quels que soient les axes, et peuvent s'étendre à un canal tortueux tracé sur une sphère, à condition que a représente la composante du déplacement suivant la tangente à l'axe du canal. Au lieu de la variable 57, il suffira de prendre la variable ,ç, c'est-à-dire l'arc compté suivant l'axe du canal, et nous aurons Téquation
, . do
(l OIS) i( = —i- .
as La théorie est absolument générale.
127. Enfin, nous avons une troisième relation, qui nous est fournie par l'équation de continuité. Désignons par t la section
Fis. 20 bis.
du canal et par / sa largeur. Considérons la portion du canal limitée par les deux sections droites «6, a' b' distantes de <i5, et appliquons l'équation de continuité à cette portion {Jig. 20 bis).
Par la face ab, il entre une quantité cl'eau.. az/.
Par la face a'b' , il entre — œmh ; — ds
L ds \
Par le fond, il entre o
Bt par la surface libre X,lds
On doit donc avoir, en exprimant que la somme est nulle,
Nous avons ainsi trois équations (1 bis), (2) et(.'^), d'où l'on déduira l'équation différentielle à laquelle doit satisfaire la fonction cp, à savoir
C'est une équation du second ordre, mais aux différences exactes; son intégrale contiendra deux constantes arbitraires qu'on déterminera à l'aide des conditions aux limites.
128. Conditions aux limites. — Il convient de distinguer plusieurs cas.
Si l'on a un canal fermé sur lui-même, les conditions seront
que cp et sa dérivée -j- soient des fonctions périodiques de s.
Si l'on a un canal aboutissant à un cul-de-sac, le déplacement devra être nul sur la paroi terminale, c'est-à-dire qu'on
(/ce
aura —r = o.
ds
Supposons maintenant le cas de plusieurs canaux aboutissant à un même carrefour ; par exemple, pour fixer les idées, quatre canaux aboutissant au point O. Il faudra d'abord que les quatre
fonctions cp aient la même valeur au point O; les dérivées -^ pouvant d'ailleurs être inégales. Mais nous aurons à exprimer de plus une autre condition : il faut que la quantité de liquide arrivant en O {fig- 21) par certains des canaux soit égale à celle qui
Fig. 21.
s'écoule par les autres; en d'autres termes, que la somme algébrique des quantités de liquide arrivant au carrefour soit égale à zéro.
Or, pour un quelconque des canaux, l'expression du liquide affluant est
as
Nous devrons donc a\oir, au point O,
ds
Dans cette expression, a- représente la section des différents canaux, et ds doit être compté positivement quand on se rapproche du point O.
Il est facile de voir que nous avons bien ainsi, dans tous les cas, le nombre voulu de conditions.
Soit, en effet, n le nombre des canaux du réseau. Pour chacun
de ces canaux, novis aurons une équation dilïérentielle du second
ordre, par conséquent deux constantes à déterminer par canal et
in en tout. 11 nous faudra donc in conditions aux limites. Or, si
P. — III. i4
2iO PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IX.
nous considérons un cul-de-sac ou une extrémité débouchant dans l'océan comme un carrefour où aboutit un canal unique, et si nous désignons alors par p le nombre des canaux aboutissant à un carrefour quelconque, nous aurons
D'autre part, pour chaque valeur de/? égale à un (cul-de-sac ou extrémité libre) nous aurons une condilion. Pour chaque valeur de p supérieure à un (carrefour), nous aurons d'abord p — i conditions exprimant que © a la même valeur, puis la condition de continuité, soit p conditions pour chaque carrefour. Le nombre total des conditions sera donc bien égal à HyO, c'est-à-dire à celui des III constantes qu'il faut déterminer.
Dans le cas des oscillations propres, nous n'aurons plus à déterminer que les rapports de ces constantes, mais il faut y joindre l'inconnue X : il y a bien toujours autant d'indéterminées que de conditions.
129. Marées dans un canal de profondeur et de largeur constantes. — Nous avons dans ce cas
a =; hl
et l'équation (4) se réduit à
C'est une équation différentielle linéaire à coefficients constants et à second membre, dont l'intégration sera facile dans les différents cas, connaissant l'expression de W en fonction de s et de t.
Nous allons examiner quelques cas particuliers.
A. Canal tracé suivant un parallèle. — En un point quelconque, l'expression de la composante isochrone considérée du potentiel perturbateur est
C ef^t = /( 6 ) eA:/.t/+Ai ( A- = o, rh i , ±'i). Dans le cas actuel, d» est proportionnel à 5, longueur de l'arc
comptée suivant l'axe du canal, et, en désignant par A une constante, nous aurons
W = A eA-'^-+)-f ,
k étant ici une constante telle que, S étant la longueur de la circonférence entière du canal, on ait
pour les marées semi-diurnes,
pour les marées diurnes.
L'équation à intégrer est alors
gh —-4- = X2 çp A e/.76-+Xi!.
Nous avons une solution particulière de l'équation complète en prenant
D'autre part, l'intégrale générale de l'équation sans second membre est
B et B' sont deux constantes arbitraires, et jj. est donné par l'équation
La solution complète du problème sera
\ gAis+lt
Si le canal est fermé sur lui-même, o doit être une fonction périodique de période S; comme la fonction csq seule admet cette période, et non pas cp,, on devra avoir
Dans ce cas, le rapport ^, sera égal à v- tt-,', il sera donc
' '^^i W ^ À- -+- glik-
réel. Alors, en vertu de l'équation (2), la marée ^ aura même argu-
ment que le potentiel perturbateur : il n'existera pas de décalage. Cela tient à ce que nous nous trouvons dans les conditions du théorème de Laplace (§ 79) : la profondeur est, en effet, fonction de la latitude.
Il y aurait, au contraire, nécessairement décalage si le canal considéré, au lieu d'être entièrement circulaire, se trouvait limité à deux extrémités. En effet, nous avons alors
W A A l^-\-ghk'>-
Pour qu'il n'y ait pas décalage, il faut que ce rapport soit réel^ c'est-à-dire, puisque \x et k sont réels, que l'on ait
Il en résulte que cp devrait se réduire à cso. Mais ceci est incompatible avec la condition — ^ = o aux deux extrémités du canal.
Le décalage est donc le cas général, et c'est par suite d'une interprétation erronée du théorème de Laplace qu'Airy a fait intervenir le frottement pour expliquer le retard de la marée.
Le canal fermé à ses deux extrémités peut avoir une longueur [ telle que l'amplitude de l'oscillation soit considérablement renforcée. Plaçons, en effet, l'origine au milieu du canal; nous déterminerons les deux constantes B et B' en écrivant que la condition —7^ = O est satisfaite aux extrémités 5 =rh -• D'où les équaas '2 ^
tions
Î^TJhk^' •-H-I.he —^Be --=0.
. / On en tire, en multipliant respectivement par e - et retran-
hant.
De même
Ak l
u. B sinaZ = — ^— t-t. sin{ /: -t- [i.) -•
' ' À- -h ghk^ 1
U.B sin iJL/ = — .— ■ ■ . sin( A: — [J-j - •
Les valeurs ainsi obtenues pour B et B' sont proportionnelles à A.
Imaginons que la longueur du canal soit telle que nous ayons
sensiblement
[j. / = TT ;
B et B' deviennent tous deux extrêmement grands, mais leur somme reste finie. Ils seront donc sensiblement égaïax et de signes contraires, et l'oscillation que prendra le canal se réduira, à très peu près, en négligeant A, à
Ç = ^^ = — B ( e'!J--- — e-'>-*- ) e><' = — B e' ''~ ' "2" ' sin [jl5.
Nous aurons donc sensiblement dans le canal une onde stationnaire de très grande amplitude, ayant une ligne nodale au centre 5 = o et un ventre à chaque extrémité.
Comme la marée est proportionnelle à A sin^). ;, tandis que le potentiel, au centre du canal, est proportionnel à Acos/À^, on voit que la marée dans tout le canal est décalée de 90°, soit de { de période par rapport au potentiel au centre, c'est-à-dire à ce qu'eût été en ce point la marée calculée par la théorie statique. Si donc o** est l'heure du passage de l'astre au méridien moyen, il y aura pleine mer à 3'' à l'une des extrémités du canal et pleine mer à 9*^ à l'autre extrémité, s'il s'agit d'une marée semi-diurne.
C'est le signe de B qui montrera si, à l'une de ces heures, la pleine mer doit avoir lieu à l'extrémité orientale ou à l'extrémité occidentale. Comme sinjj./ change de signe selon que ij./est supérieur ou inférieur à tz, il suffira de voir si la longueur dvi canal est
un peu plus couite ou un peu plus grande que — •
Remarquons que — est la longueur d'onde d'une oscillation
ayant même période ^,- que la force perturl)auice et qui se propagerait dans le canal avec la vitesse y gli-
T.o canal considéré, susceptible d'admettre cette oscillation comme oscillation propre uninodale, est dit canal d' une demilongueur d'onde.
Si sa longueur était voisine d'une longueur d'onde, soit '—^^
B et B' seraient également très grands, et sensiblement égaux, mais de même signe, parce que c'est leur différence qui serait alors
2l4 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IX.
finie. Par suite, l'oscillation se réduirait sensiblement à
ï. = — Be>'^ cos [xs.
Il n'y aurait plus décalage par rapport à l'expression du potentiel au point central.
Nous aurons, à très peu près, une onde stationnaire présentant un ventre au centre et à chacune des extrémités, avec deux lignes nodales intermédiaires. Dans le cas d'une marée semi-diurne, la pleine mer aura lieu à o'^ ou à 6^, o étant l'heure du passage de l'astre fictif au méridien central.
Mais il faut bien remarquer que, si le décalage n'existe pas au point central, il existe nécessairement partout ailleurs, puisque l'onde est stationnaire.
130. B. Canal méridien. — Dans ce cas, c^^'t' est une constante, ,çest proportionnel à 9 et l'on aura
f{s) étant réel, car on peut toujours prendre le méridien du canal comme origine des longitudes, de telle sorte que le facteur exponentiel constant e*"^ soit égal à un.
Il faudra intégrer l'équation différentielle
L'intégrale générale sera
c5o étant comme / une fonction de s réelle et y. étant toujours fourni par l'équation
Si le canal est limité à deux extrémités, B et B' ne seront
pas nuls, et, par suite, le rapport ^ ne pourra pas être réel.
Il y aura donc encore décalage. La différence de phase entre la marée et la force perturbatrice ne peut s'annuler que dans le cas où les conditions du théorème de Laplace sont satisfaites.
QAUTHIER^VILLARS é. C"
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Cours
de Mécanique céleste
M. H. ANDOYER
Membre de l'Institut et du Bureau des Long'itudes, Professeur à la Faculté des Sciences de Paris.
Deux volumes in-8 (25-16) se vendant séparément :
