CHAPITRE IX

le canal de droite, même si les sections sont supposées différentes. Nous démontrerons, en effet, bientôt (§ 137) que, lorsque le potentiel est négligeable, on a, en considérant une portion quelconque du volume liquide limitée par deux sections t et a-', la relation générale

laquelle exprime que la quantité d'énergie qui pénètre par suite des ondes à travers la surface latérale est nulle (§ 133).

Fis;. 22.

Il restera donc bien seulement une onde stalionnaire dans chacun des deux canaux.^

Voyons quelles relations existent entre les intensités et les phases de ces ondes.

Soient a, h et V la section, la profondeur et la vitesse de propagation dans le grand canal; a-', h', V les quantités analogues pour le petit.

Nous aurons dans le grand canal une onde stationnaire

= A cosiXt cos

et dans le petit

= B cos i X t cos I -tt; — H e'

do

Pour s = a, on doit avoir -j^ = o ; donc

ce qui détermine s'

ds

Pour 5 = o, cp et -^ doivent être continus ; ce qui donne

A cose =3 B cose', A. sine = A" B sinî', en posant

k sera plus petit que un, si l'on suppose le second canal plus étroit et moins profond que le premier; car les sections sont proportionnelles aux profondeurs et les vitesses seulement aux racines carrées. On a donc

A2= B2(cOS2î'+Â-2sin2£').

Le coefficient de B- peut s'écrire i — (i — k-) sin-e'; il est donc inférieur à un, quel que soil î'. Donc

La marée sera plus forte dans le petit canal.

Le maximum de renforcement a lieu quand coss' = o ; alors

La longueur d'onde A de l'onde stationnaire du petit canal étant

on a alors

Ai '^

La longueur du petit canal est donc le J de longueur d'onde.

Si l'on avait a = —, il en résulterait B = A; il n'y aurait pas de renforcement.

Au fond du petit canal, nous avons toujours un ventre; on en retrouve un autre à une demi-longueur d'onde, avec un nœud

intermédiaire à la distance —• La haute mer et la basse mer se pro-

duisent quand Ckl est un multiple de::; il y aura, dans le petit canal, concordance de phase ou phase opposée sui\anl le signe du coefficient de coiûu : la phase change de sens en passant par un nœud.

Si la longueur du petit canal est inférieure à -j il n'y aura pas

de nœud dans le canal : il j aura concordance de phase entre la marée dans le petit canal et la marée extérieure.

Four une longueur comprise entre — et— -, il existe un seul

nœud : on a basse mer au fond du canal pour haute mer au large et à l'entrée, et ainsi de suite.

Nous verrons que, lorsqu'on tient compte du potentiel perturbateur, ces relations de concordance peuvent être considérablement modifiées (§ 132).

132. Propagation des oscillations contraintes. — Nous allons maintenant envisager le cas où le potentiel perturbateur W ne peut pas être négligé dans l'étendue du canal considéré. Ce potentiel dépend à la fois de G et de 'h, c'est-à-dire de s. Nous admettrons que le canal est assez peu long pour que W puisse être développé en une série de Taylor procédant suivant les puissances de s et ne comprenant que les trois premiers termes, soit

Nous aurons alors à intégrer l'équation différentielle

^h — r-L = l-a — ( a 5^ + a S 5 -4- Y ) e^^. ds- ' '

L'équation complète admet pour solution particulière L'intégrale générale sera donc

tj. étant toujours donné par

l- = — §-hiJ.^.

Ouant à la hauteur "C, de la marée, elle sera

^ = - ( X2cp — W) = — (Be'V-^-h B' e-'\>-' -h- -^r— «'''•

On voit donc que si a := o, c'est-à-dire si le potentiel perturbateur est une fonction linéaire de l'arc s, la marée sera la même que s'il n'y avait pas de forces extérieures.

Si, en plus de a =r o, on a aussi

il se produira une onde stationnaire (§ 131); par suite, il n'existera pas de lignes cotidales, mais des plages cotidales séparées par des lignes nodales.

Imaginons un canal ouvert à ses deux extrémités, par exemple un détroit. Soit 5 = 0 et 5 = / les deux extrémités. Comment déterminerons-nous les deux constantes arbitraires qui figurent dans l'expression de ^?

On peut admettre que la marée soit connue dans les deux océans où débouche le détroit, car la marée du détroit n'aura qu'une influence insensible sur celle des océans : Ç est donc donné aux deux extrémités, d'où deux équations de condition qui donneront B et B'.

Dans ce cas, même si a = o, rien n'empêche que la différence des heures de la marée aux deux extrémités soit telle que l'on ait B' = o, c'est-à-dire qu'il existe dans le détroit une onde purement progressive.

Imaginons, au contraire, un canal fermé par les deux bouts.

A chaque extrémité, il faudra satisfaire à la condition^ =0, ' as

c'est-à-dire

X2 / jj. ( B e'V"' — B' e-'V"' ) -h 2 a 5 + 2 ^ = o.

D'où, pour A= o et s^l^ deux équations qui détermineront li etB'.

Si 3;:=P = o, c'est-à-dire si le potentiel perturbateur est le même en tous les points du canal, on retombe sur l'oscillation propre du canal et l'on a une onde stationnaire (B = B).

Dans le cas d'un canal fermé par les deux bouts, il suffit d'ailleurs que l'on ait a = o, [3 restant différent de zéro, pour (pie la phase de la marée soit la même dans tout le canal. On a, en effet, en retranchant membre à membre les deux équations de condition aux

limites,

B — B'== Be'V-/— B'e '(J/,

I'i2 PREMIERE PARTIE. — CHAPITRE IX.

ce qui entraîne nécessairement