IB|-|B

Nous pouvons considérer également un canal fermé à une de ses extrémités et débouchant sur un océan. Ce cas se rapproche sensiblement de celui de la mer Rouge. An débouché du canal, pour 5 = /, nous devrons avoir

Ç étant donné.

. A l'extrémité fermée 5 =: o, nous aurons

X2tfji(B — B') + 2,'iJ = o.

D'où l'on tirera encore B et B'.

Si l'on avait a ^ [5 = o, on aurait une onde stationnaire.

Un cas particulier remarquable se présente lorsque la longueur du canal est à peu près égale à \ de la longueur d'onde ou à un multiple impair du quart de cette longueur d'onde. En

effet, la longueur d'onde d'une oscillation de période -rr^> qui se

propagerait avec la vitesse ygh=: -^> étant—, nous aurons alors sensiblement

Les deux équations qui déterminent B et B' sont

X2i[j.(B — B')-H2[3 = 0. Je dis que leur déterminant est nul. En effet, on a

= e'\>-' -h e~iV-'^ o, I — I

en vertu de l'hypothèse.

Il en résulte c^ue B et B' seraient infinis si la longueur / du canal était exactement le quart de la longueur d'onde. Si elle en est seulement très voisine, nous nous trouverons en présence d'un

cas de résonance. Nous avons alors sensiblement

En efl'et, B et B' sont l'un et l'autre très grands; d'autre part, comme

A2i;jl(B — B')= — 2^,

B — B' est fini ; on a donc sensilDlement

D'un autre côté, nous pouvons, dans l'expression de ^, négliger alors 2ghy. devant B et B'; ce qui donne sensiblement

ffl — X2Be'>'''+>-'+ X2 B'e-'>+>'^

c'est-à-dire que nous retombons sur la formule des oscillations propres. Gomme B = B', l'onde est slationnaire, et la phase de la marée sera la même dans tout le golfe.

Mais il importe de remarquer qu';7 n'est nullement nécessaire que cette phase soit la même que celle de la marée dans V océan sur lequel débouche le golfe.

En effet, le rapport des arguments de ^ dans le golfe et à l'embouchure peut très bien être imaginaire.

On montrerait par une analyse semblable que, pour un canal fermé à ses deux extrémités, la longueur critique correspondant à une résonance est égale à un multiple quelconque de la demilongueur d'onde de l'oscillation propre ayant pour période la

période ^ de la force perturbatrice. Nous avons étudié cette i-éso-

nance en détail pour le cas particulier d'un canal dirigé suivant un parallèle (§ 129).

133. Énergie transportée par une oscillation propre dans un canal. — Nous avons au, en étudiant les oscillations propres d'un canal de profondeur et de largeur constantes (§ 131), que

l'on avait

çp = Ce'2-4- Ce''' •A\ec

i £. = i[xs -\-\t -\- i'x^

ie' = — i \xs -{-Kt-+- i'a'.

Considérons maintenant le courant de marée

du d'-^ . ^ , ^ . ^ , . , dt ds dt ^ '

Si nous prenons les parties réelles de ces expressions imaginaires, nous aurons, ik étant réel,

cp = G COS£ -i- C coss',

-— = t u^(^C cosî — G'cose').

dt

Formons l'expression

' dt ^

C'est une fonction périodique du temps. Si nous cheixhons sa

, r du "1

valeur moyenne hp-7- h en remarquant que

fcos^Ca^ -I- è)] = -,

nous obtiendrons

Nous savons que les deux termes de o représentent deux ondes progressives se propageant en sens inverse. Les intensités de ces ondes sont proportionnelles aux carrés de leurs amplitudes respectives, c'est-à-dire à C- et C- ; de sorte que la quantité d'énergie qui passe, en vertu de la propagation de ces deux ondes, à travers un élément de section du canal sera proportionnelle àC2-C'^*.

r\ du 1 , • , ^^ , ■

Donc 'f -7- représente cette quantité d énergie.

Si C =^ C, les deux ondes progressives se combinent en une onde stationnaire, et la quantité d'énergie qui passe à travers une section est alors nulle.

134. Expression générale de l'énergie d'un liquide en oscillation. — La définition à laquelle nous venons d'être conduits dans le cas très simple d'un canal de profondeur et de largeur constantes peut être généralisée ainsi qu'il suit : Si dans une oscillation

quelconque, se propageanL dans une aire quelconque, N représente la composante du déplacement normale à un élément de surface, la quantité d'énergie qui le traversera sera proportion-

nelle a la lonction '-p —r- •

Pour justifier cette extension, reprenons les équations générales du mouvement d'un liquide tournant (§ 59), l'axe du monde étant pris pour axe des 5,

d'- u dV-

dv dt

dx

dl'--3

dx

dU> dV- ^

du

dl"":.

dy

dr^

dz

dz

avec

l'équation

de continuité

du dx

Multiplions la première de ces équations par-^-jla seconde

dv -y . . , dw . . , . ,

par -j- , la troisième par —j-, et ajoutons; u viendra

dt d- u du

■^ d- u du ■^ ciK- o du Zd ~dV- ~di " Zu dx lit

Considérons un volume liquide quelconque limité par la surface S. Soit T la quantité de force vive existant à Tintérieur de ce

volume; on aura, en désignant par d-z un élément de volume et prenant la densité du liquide pour unité,

p. — III.

D'où, en différentiant,

dT r ^ du d^-u r ^ dV- o du

~dt " J Zd It ~dF ' ~J 2a '~dx ~di

Or, en désignant par F une fonction quelconque des coordonnées, nous avons la formule d'intégration par parties

les intégrales de volume étant étendues à tous les éléments d- du volume considéré et les intégrales de surface à tous les éléments d-T de la surface limite S; a, p, y sont les cosinus directeurs de la normale à l'élément da.

Remplaçons respectivement dans cette formule

par

et remarquons que

du dv dw ' ' dt dt dt