du dN ^ ~ ^4 ^~di ~ ~dt
N étant la composante normale du déplacement
JNous aurons ainsi
dt J ' dt J ' dt .La dx
Mais la seconde de ces intégrales est nulle, en vertu de l'équation de continuité ; il reste donc simplement
dt J ' dt
Or, la demi- force vive T est une fonction périodique du temps; il en sera donc de même de — ? dont la valeur moyenne sera nulle. Il en résulte que nous avons
J l' dtj
135. Le calcul que nous venons de faire reste vrai, que l'on prenne toutes les composantes de la marée, ou une seule d'entre elles, ou encore une combinaison quelconque de ces composantes. Si, toutefois, on se bornait à considérer une composante isochrone imaginaire, '^ et N étant alors proportionnels à e^^, la fonction
cp —r- serait proportionnelle à e-^-'et sa valeur moyenne serait nulle.
dt
La formule
serait donc illusoire.
Pour que le théorème exprimé par cette égalité ait un sens, il faut considérer deux composantes isochrones imaginaires conjuguées, ou bien, ce qui revient au même, une composante réelle.
136. Relation générale entre le potentiel perturbateur et la marée. — Considérons une portion du volume de l'océan limitée par la surface libre, le fond et la surface latérale d'un cône à génératrices verticales ayant povir sommet le centre de la Terre, et appliquons à cette masse liquide la formule générale
ch = o.
Gomme la surface limite couiprend trois parties distinctes, nous aurons trois termes différents dans l'intégrale du premier membre :
i" L'intégrale relative à la surface du fond est nulle, puisqu'en tous les points du fond, on a constamment N ^ o ; 2" Sur la surface libre, nous avons
en posant ici
la sommation étant étendue aux deux composantes isochrones considérées. D'ailleurs, N = Ç. L'intégrale relative à la surface libre comprendra donc trois termes :
a. D'abord
Ce terme est nul, car, Z,- étant une fonction périodique du temps, la valeur moyenne de sa dérivée est nulle.
b. Nous avons ensuite le terme
11 ne sera pas nul en général, mais il existe un cas où ce terme sera nul également : c'est celui où le volume considéré comprend l'océan tout entier.
En etTet, II" est le potentiel dû à l'attraction d'une couche attirante de densité — 'C répandue à la surface de l'océan, et nous avons, en vertu d'un théorème connu de la théorie du potentiel,
Or, ^U" étant une fonction périodique du temps, la valeur moyenne de sa dérivée est nulle.
c. Le troisième terme est
da.
dt
C'est à lui que se réduira l'intégrale relative à la surface libre si nous nous plaçons dans le cas d'un volume liquide étendu à l'océan tout entier.
3" Nous avons enfin l'intégrale relative à la surface latérale, mais elle est nulle également dans le cas considéré.
11 nous reste alors simplement
^cr
l'intégrale étant étendue à la surface libre de l'océan tout entier. Nous verrons dans la cinquième Partie qu'on déduit de cette équation que l'action des astres sur l'océan seul ne peut pas produire de couple retardateur de la rotation terrestre.
137. Si le volume liquide considéré ne comprend pas l'océan tout entier, nous poserons
n^ étant l'attraction de la partie du bourrelet liquide comprise à l'intérieur du volume T, II", l'attraction de la partie du bourrelet liquide comprise à l'extérieur de ce volume.
Alors, le raisonnement précédent pouvant s'appliquer à n'|,, nous aurons
et, si nous posons
la portion de l'intégrale relative à la surface libre sera
kf
dij.
En général, \1[ est négligeable devant W et l'on peut remplacer W, par W dans cette intégrale, qu'il faut étendre à toute la surface libre du volume T considéi'é.
Seulement, il faut de plus considérer ici la surface latérale de ce volume. Pour évaluer l'intégrale correspondante, nous allons profiter de ce que, la profondeur étant toujours supposée très faible, la valeur de ca est sensiblement constante sur une même verticale.
Ecrivons, en eflet, les équations du mouvement en prenant cette fois comme axe des z, non plus l'axe de rotation de la Terre, mais la verticale du lieu ; />, ly, /■ étant les composantes de la rotation,
l'équation en -~ sera (§ o9)
A- (V -h 2 /> )^ t' — 2gl u ^= X^ — i •
az
Considérons deux points sur la même \erticale, et soit oc5 l'accroissement de cp lorsqu'on passe de l'un à l'autre ; nous aurons
Si = I w dz -h ^ / (' dz — -y^ u dz.
cp est de l'ordre de tr. Le premier terme, / (vc/c, sera de l'ordre
de (vA. Les coefficients des autres termes sont des quantités finies, parce que p el cj sont de l'ordre de to et que )> est très voisin d'un multiple de iio ; ces termes sont donc de Tordre de uh, c'est-à-dire
23o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE IX.
de -~- hf donc très petils par rapport à o, parce que h est très petit
par rapport à la longueur d'onde. Ainsi, tous les termes de ocs sont très petits par rapport à cp, et Ton peut prendre O'p = o.
Alors, les composantes ;/, r, w du déplacement resteront les
mêmes tout le long d'une même verticale, et la valeur de o —r-
sera la même pour tout l'élément Ji ds de la surface latérale. En appliquant la relation générale
à toute la surface limitant le volume liquide considéré, nous avons donc
rJh'§]--/4^f]-
Le premier terme représente le travail des forces extérieures ; le deuxième, l'énergie qui pénètre par suite des ondes, à travers la surface latérale.
T • -p • 1 ' - r • r dni
La signiiication que nous avons donnée a 1 expression cp —r-
esl donc bien justifiée, qu'il s'agisse d'oscillations propres ou d'oscillations contraintes.
138. Conséquence : Sens de propagation des ondes progressives. — Nous avons dit que W, était sensiblement égal à W, potentiel de l'astre. Chercbons alors quel est le signe de l'expression
W -7- • Supposons que nous ajons une composante isochrone W = M cos(aZ-+- P) produisant une marée
— Ç = Ml cos(a/ + T);
M et M| étant tous deux positifs.
Si y = |3, il n'j aura pas décalage ; sinon, la marée se trouvera en avance ou en retard, une avance de plus d'une demi-période équivalant à un retard.
On dira que la marée est en avance si sin (y — P)>-o, et qu'elle est en retard si sin (v — [j) <; o.
MARÉES SE PRODUISANT DANS UN RÉSEAU DE CANAUX ÉTROITS. 'iSl
Formons
W ~ . Nous avons
W-T^ =aMM, cos(aif + !3) sin(a«-l- y)
— ^ — î-sin(2a«-+- ^ + y) -^ ^sin(Y — ^).
Dans l'expression
le signe des éléments de la première intégrale dépendra donc de l'avance ou du retard de la marée.
Supposons une plage où la marée soit partout en avance ; la première intégrale sera positive et, comme 1\- est négatif, la seconde intégrale devra être positive également. L'inverse se produirait si, dans l'aire considérée, la marée était partout en retard.
Réciproquement, si nous délimitons à la surface de l'océan une certaine zone au moyen d'une courbe quelconque S, et si nous supposons qu'à travers les éléments de cette courbe, des ondes progressives fassent pénétrer de l'énergie, ces ondes ne pourront être partout convergentes que si la première intégrale est positive, c'est-à-dire si la marée est en avance à l'intérieur de la courbe. De même, ces ondes ne pourraient être partout divergentes que si la marée était en retard dans Faire considérée.
En d'autres termes, les oncles progressives vont toujours des points où la marée est en retard vers les points oii la marée est en avance.
Ce résultat peut paraître paradoxal ; il n'est cependant qu'une conséquence directe du principe des forces vives. L'énergie totale étant une fonction périodique du temps, sa valeur moyenne doit être nulle. Or, comme forces extérieures, nous avons l'attraction des astres dont le travail est représenté par la première intégrale, à un facteur constant près. Les autres forces sont la pression qui s'exerce sur la surface limitant le volume, et dont le travail est représenté par la seconde intégrale.
