X-2-) . . . , x,j, et considérons le rapport

Ce rapport ne peut varier qu'entre Àj et X'I, en désignant par )m et k,i la plus grande et la plus petite des racines en valeur absolue. Donc, si l'on cherche son minimum, on aura une des valeurs de X. Supposons-la trouvée, et assujettissons maintenant les variablés à la condition X, = o. Si nous prenons alors le rapport -rr ?

où les termes en X^ ont disparu, il variera entre les limites XI et Il : d'où un nouveau minimum fournissant Xo, et ainsi de suite.

On peut donner à ce résultat une forme géométrique intéressante.

OSCILLATIONS D UN SYSTÈME MIÎCAMQLi:. Q7

Si nous considérons les variables x^^x.^^ ..., Xn comme des coordonnées dans l'espace à n dimensions, F = o et F, — o représenteront deux ellipsoïdes, et F — sFi = o sera un ellipsoïde passant par l'intersection des deux premiers.

Mais, pour certaines valeurs de £, cet ellipsoïde se réduira à un cône.

Dans le cas particulier où F ^ o représenterait une sphère, c'est-à-dire si l'on avait

la recherciie des ). reviendrait à celle des axes de l'ellipsoïde F, = o.

Nous allons montrer maintenant quelles sont les formes quadratiques qui, dans le cas des oscillations, peuvent servir à la détermination des périodes.

17. Considérons une oscillation propre harmonique quelconque qij = o-ijé'-j'^ et son imaginaire conjuguée sij = \-^ij f^' ^'Z-

Une oscillation propre quelconque qi pourra, comme nous le savons, se décomposer en oscillations propres harmoniques, sous la forme

qi=Z\jrjij,

les Ay étant des coefficients constants. Nous supposerons que qi soit une oscillation réelle : les termes du deuxième membre seront alors imaginaires conjugués deux à deux; Ajqtj^ par exemple, sera imaginaire conjugué de By.ç/y, et les deux coefficients Ayet By seront imaginaires conjugués.

Ceci posé, considérons l'énergie E(^/). Pia[)pelons que, F étant une forme quadratique quelconque, on a

Fikx^By) = A-'F(x)^ B^F(jK) + 2ABF(a-,j),

A et B étant des coefficients constants. Celte dernière formule se généralise d'ailleurs immédiatement et nous pouvons l'appliquer à qi qui est une somme de 2/? termes; on a ainsi

E ( <7 ,■ ; = :î: A } \i ( (jij ) -+- ■>. :ù Xj A/, E ( g,j, qik ).

Nous savons (§ 14) que

lorsque Xy-v- X/, ^ o, ^{qij) — o, ^iqtj, qik) = o, lorsque Xy + X/^ = o, E ( qij ) = o, E ( qtj, qu; ) = i •

Il nous suffît donc, dans l'expression de £(9'/), de considérer uniquement les termes tels que \j + \h = o, c'est-à-dire de changer qi^ en Sij et A/- en By. Il reste ainsi simplement

E{qO^ 2SAyBy,

ce qui est essentiellement positif, puisque Ay et By sont imaginaires conjugués.

Développons gi suivant les puissances croissantes du temps ; nous aurons

avec

Xi = i A.j'Xij^ .<•=: SAyXja/y.

Les quantités x^ x', x" sont réelles, puisque q est réel.

Elles sont liées, d'ailleurs, par des relations linéaires, qui ne sont pas autre chose que les équations différentielles (6) où les paramètres q, q', q" sont remplacés par leurs valeurs initiales

S ( a"if,x} -+- du, x'i -t- aïk xi ) = o.

Dans l'expression de l'énergie, qui est une constante, faisons i= o.

Alors E i^qi) = Ho (^',.) — Ho {qi) se réduira à

H,(:r;-:) — Ho(:r,-) = 2SAyBy.

D'après la définition des fonctions IL et Hq, cette expression sera une forme quadratique des 'la variables x^ x' : appelons-la F, . Si nous changeons, dans F,, Ay en ).yAy, ce qui entraîne le changement de By en — V "^y: puis x en x' et x' en x", nous aurons

H.2(^';) - Ho(a;^-) = - 2SX? AyBy.

Le premier membre est une forme quadratique en x' et x",

OSCILLATIONS d'uN SYSTÈME MÉCANIQUE. 20

c'est-à-dire, puisque x" s'exprime linéairement en x et x' ^ une forme quadratique des in variables x^ x' : appelons-la Fo. INous obtenons ainsi deux formes quadratiques,

F2(a7,a-') = H2(a7")-no(:r')= — aSXjAyBy,

des 2n variables x et x', qu'on peut former sans résoudre l'équation A(X) = o. Ce sont des sommes de carrés essentiellement positives.

Considérons leur rapport

F, ZXjAyBy

Les variables x et x' sont réelles, mais arbitraires. Le rapport

1^ variera par suite de — A'I à — X^, À, et A,i étant la plus petite

et la plus grande des racines de A (à) considérées en valeur absolue. Donc

et la recherche du minimum du rapport des deux formes nous fournira la racine X) .

Supposons que Xj soit déterminé. On pourra alors calculer a, et (3, (voir § 7).

Assujettissons maintenant les x ei x' à deux relations linéaires

Ai = Bi = o.

Nous formerons ces relations en considérant que

E(^(, 5/i) = :£.s\jE{qij,Sii) = Al,

puisque tous les autres termes pour lesquelsy ^ i sont nuls. Par conséquent, l'une de nos relations sera, puisque s'- ^ = — À, [j/,

pour ^ ^ o,

— XiH2(t3/i, x'i) — Ho(p/i,:r,-) = o.

Pareillement, nous aurons la relation imaginaire conjuguée

Xi H2(a/,, x;-) — Ho(a/i, x,-) = o.

3o PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.

Dans ces conditions, A, et B, seront nuls, et le rapport ^ aura

un nouveau minimum — À' ; d'où ao et p^.

Nous assujettirons ensuite les variables aux conditions

formées d'une façon analogue, et ainsi de suite.

18. Dans le cas de l'équilibre absolu, les deux formes quadratiques se simplifient. En effet, on a alors (§8) a^,^.= o. Si donc nous supposons que tous les x soient nuls, ce qui revient à faire correspondre l'origine du temps à la position d'équilibre, les ce" seront tous nuls aussi, en vertu de la relation linéaire qui les lie aux X et aux x' . Comme on a, d'ailleurs, a/ =r ^j, il en résulte que les coefficients Ay et By sont égaux et de signes contraires; étant imaginaires conjugués, ils seront alors purement imaginaires.

La forme F^ se réduit à Ho (x') et la forme Fo à — Ho (x') ; elles ne dépendent plus que de n variables au lieu de 2/1.

Mais, dans l'un comme dans l'autre cas, la recherche des racines de A (a) = o est ramenée à celle des minima successifs du rapport de deux formes c^uadratiques.

19. Cas où l'équation A(X) = o admet des racines multiples. 1° Oscillations propres. — Reprenons les équations (7)

^^iCik= o.

Nous savons (§7) qu'elles fourniront les solutions du problème si leur déterminant A (X) est nul : les racines de l'équation

cjue l'on peut déterminer comme nous venons de le montrer, donnent alors les périodes des oscillations propres.

Nous avons supposé jusqu'ici que l'équation (8) avait toutes ses racines distinctes, c'est-à-dire que les mineurs du premier ordre D//f ne pouvaient s'annuler tous en même temps que A. Les inconnues a/y sont alors respectivement proporlionnelles à D/^- (^^y), elles peuvent s'exprimer en fonction de l'une quelconque d'entre elles prise arbitrairement, et la solution générale ^/, correspon-

OSCILLATIONS I) UN SYSTEME MECANIQUE. 6ï

danl à l'ensemble des 2/z racines Xy, comprend bien, comme cela doit être, 2n constantes arbitraires.

Supposons maintenant c|ue A admette la racine double Ay. D'après la théorie générale des systèmes d'équations différentielles linéaires à coefficients constants, deux cas sont à envisager :

1° Si les mineurs Dik ne s'annulent pas tous pour ), == Ày, les équations admettent nécessairement une solution de la forme aijP(t) eV, P étant un polynôme du premier degré en i, renfermant deux constantes arbitraires ; de telle sorte c|ue, dans la solution générale, le nombre de ces constantes reste égal à 2n.

2" Si tous les mineurs D/A().y) sont nuls, la solution précédente sera illusoire; mais, en admettant que )\y ne soit pas racine de A d'ordre de multiplicité supérieur à 2, un au moins des mineurs du second ordre ne s'annulera pas. Les inconnues a/y pourront alors s'exprimer linéiiirement en fonction de deux d'entre elles prises arbitrairement : il en résulte qu'à la racine double Ay correspondront deux oscillations qij distinctes, ayant même période, et différant non seulement par les amplitudes, mais encore par les phases respectives des divers paramètres. Quant au nombre des constantes arbitraires dans la solution générale, il restera bien toujours égal à 2/1.

Or, je dis qu'en vertu des conditions mécanic{ues auxquelles est assujetti le système étudié, celte dernière hypothèse est seule réalisable, c'est-à-dire que dans l'expression d'une oscillation propre quelconque, le temps ne peut pas figurer en dehors des exponentielles.

Admettons, en effet, que le système soit susceptible de prendre une oscillation de la forme

Nous aurions

q'i = \j %ij t e>v' + ( 'J-ij -4- Xy Y,7 ) e>-i^ .

D'ailleurs, nous aurions également la solution imaginaire conjuguée

et cji-\- Si constituerait une oscillation réelle du système.

02 PaiaiIERE PARTIE. — CHAPITRE I.

Considérons l'expression E (^/ + Si) de l'énergie correspondante.

On a

E(qi^Si)= Eiçi) -\-E(Si) -i-iEiqi, Si).

Elle doit se réduire à une constante.

Or, qi et q'i contiennent un terme en ^eV et un terme en eV; E(^j) qui est de degré 2 en qi et q', sera de la forme e-'^j^V^ii)^ Po étant de degré 2 en t. Ce terme non constant devant disparaître, on aura

de même

E{si) = o.

Il reste donc simplement

lE{qi,Si),

c'est-à-dire une forme bilinéaire en q et s', s et q' ', par suite, un polynôme du deuxième degré en t.

Le coefficient de t- devra être nul. On l'obtiendra en remplaçant respectivement, dans l'expression de 2E(^j, si), qi^ «y'^ , si et s'- par leur terme de degré le plus élevé, c'est-à-dire par tqij\, tq'^j, tstj ts'^j. Le terme en t- sera ainsi

■xf^E{qij,Sij).

Or, il ne peut pas être nul, puisque nous savons que

Par conséquent, une seule hjpolhèse reste admissible : les équations (7) n'admettent c[ue des solutions où le temps figure seulement dans les exponentielles. Si donc \j est racine double, non seulement le déterminant A, mais encore tous ses mineurs du premier ordre D/a s'annulent.

Supposons, par exemple, \^=\.^] nous aurons alors deux oscillations harmoniques, qi^ et ^/o, correspondant à la même racine. La période étant la même, on pourrait remplacer ^j, et qi^ par deux combinaisons linéaires quelconques de ces quantités.

Mais nous conviendrons de les choisir en restreignant le sens du mot oscillation harmonique , de manière à conserver les

OSCILLATIONS d'uN SYSTEME MÉCANIQUE. 33

relations

E(g',l,5/.2) = E(qi2,Sii) = G,

20. 2° Oscillations contraintes. — Nous avons trouvé (§ 9) que la solution des équations avec second membre était donnée par

et nous avons décomposé s, en éléments simples de la forme

const.

Si l'équation en X a une racine double, aurons-nous dans cette

décomposition un terme en -^ t~^'^ Non, car, la racine double

de A(X) annulant D/^, il ne nous restera au dénominateur que ). — ■ Xy au premier degré.

De même pour une racine triple ou d'ordre quelconque de multiplicité ; t ne pourra pas sortir du terme exponentiel et les mineurs d'ordre 2 ou d'ordre supérieur s'annuleront : ti restera toujours infini du premier ordre.

21. Cas où l'équation A(X)=o admet des racines nulles. — D'abord la racine zéro sera d'ordre pair de multiplicité, puisque A(X) ne contient que des puissances paires de À.

Si l'on fait X^o dans les équations différentielles, cela revient à faire q^^ ^'^= ^1 ^^ ^^^ équations se réduisent à

^aii,qi= G, c'est-à-dire à

(Iqic

Par conséquent, — Hq n'est plus une somme de n carrés, mais une soanme de moins de n carrés.

Soit donc

-iio = Xf-f-Xi-H...+ x;, (/><«), p. — III. 3

34 puiîMiÉnt: PARTii;. — chapitre i.

les X(, Xo, ..., X^ étant des combinaisons linéaires des paramètres q.

Nous pouvons prendre X,, Xo, ..., Xy, eux-mêmes comme paramètres.

Alors, nous aurons deux catégories de paramètres : les uns, les qa au nombre de p\ les autres, les qt au nombre de n — p. Ho ne dépendra que des qa et pas des qi ; tandis que Ho dépendra à la fois des q^ et des q'^ .

Quelle peut être la signification de ces différents paramètres?

Ils définissent à eux tous la position des molécules de la mer.

Supposons qu'elles se déplacent de manière cjue la surface des jners ne varie pas. Il y a une infinité de manières de réaliser cette condition ; si, par exemple, on considère à l'intérieur des mers une surface de révolution et qu'on la fasse tourner d'un petit angle quelconcjue, la surface extérieure ne bougera pas.

S'il en est ainsi, je dis que — Ho, l'énergie potentielle, ne changera pas. En effet, les molécules se remplaçant les unes les autres, aucune force ne peut produire de travail, tant extérieur qu'intérieur.

Ho ne dépend donc que de la surface extérieure de la mer.

Si les paramètres qa définissent la surface extérieure et les paramètres qi, la position des molécules à l'intérieur de cette surface, il est clair que Ho dépendra seulement des qa-

Qu'en résultera-t-il alors ? Nous avons

E== H,— Ho,

Ho et — Ho étant tous deux positifs. Si ^ et q' sont réels, E ne pouvait s'annuler, dans le cas général ne comportant aucune restriction, que si tous les q et q' s'annulaient à la fois. Ceci ne sera plus vrai maintenant.

Il faut toujours que Ho et Ho soient nuls. Ho étant une somme de n carrés, tous les q' seront nuls encore ; la nullité de Hq entraîne bien la nullité des qa, mais pas celle des qi,.

Dans ces conditions, les résultats précédemment acquis vont-ils subsister?

En premier lieu, nous avons démontré que l'équation en A ne pouvait pas avoir de racine réelle (§ 14). Nous ne pouvons plus dire ici que, si Ay était réel, tous les qij devraient également être

OSCILLATIONS d'un SYSTÈME MÉCANIQUE. 35

idenliquement nuls ; mais nous savons que l'on aura q^, ^= o, donc Ày^o. Par conséquent, pas de racine réelle différente de zéro.

Nous avons vu aussi que E {qij^ Sij) ne pouvait pas être nul, parce qu'alors E (qij + sij) serait nul et que, qij -+- Sij étant réel, on en déduirait qij -{- sij = o ; un choix arbitraire nous permettait, d'ailleurs, de prendre K [qij -\- s^j) ^= i. Ici, de ce que E {qij -\- Sij) sera nul, nous pourrons seulement déduire que

d'où

qij-^ Sij= consl.,

ce qui exige que l'on ait Ay ^^^ *^- Poui" toute autre valeur de Xy, on aura donc bien encore E (^/y, Sij) ^ o.

Reprenons enfin le raisonnement par lequel nous avons montré que le temps t ne pouvait pas figurer en dehors des exponentielles (§19). Il n'est plus applicable ici, puisque nous sommes précisément dans le cas où E {qij-, Sij) =^ o. Nous pourrions donc avoir une oscillation propre de la forme qi= y-it-\- [i/. Par exemple, si

l'on prend Ho ^ ^ — et Ho = o, comme alors E ==-. Ho = const.,

on aura q] = o, d'où qi = y.i t -|- [S,-, polynôme du premier degré. Mais ne pourrait-on pas avoir comme solution un poljnome du second degré? Je dis que non. En effet, admettons que nous ayons

a/, ^/, y, étant des constantes qu'on peut supposer réelles, car, si elles étaient complexes, on prendrait séparément les parties réelles et imaginaires. L'énergie E(^/) doit rester constante ; écrivons son expression

E(^,) = H,(^',) - Ho(^/) = H,(a^+ 3) - Ho (^^ + ,3«^ + Y,)

en écrivant l'indice a dans Hg, pour mettre en évidence que Hg ne dépend pas des qi,.

Ho est un polynôme du deuxième degré par rapport aux y.t 4- [ii, donc du deuxième degré par rappoi't à t ] Hq est un polynôme du

36 PltliMlTiRIi: PAIITIE. — CHAPITRE I.

deuxième degré par rapport aux — ^- + [B^^ 4- y^, donc du quatrième degré par rapport à t. L'expression de E(^,) devant se réduire à une constante, il laut que Je terme en t'* disparaisse; donc

et par suite

Ho(aa) = o.

Ainsi, il faut que tous les a^ soient nuls; quant aux a^, nous ne savons pas. 11 reste alors

VAqi)= H,(a^+ [3) — Ho(pa^-f-Ya)

et Ho n'est plus que du deuxième degré en t. Il f;uit que le coefficient de t- disparaisse ; donc

H,(az,)-Ho(13«) = o.

Les deux ternies étant essentiellement positifs, on devra avoir

séparément

Ho(a/,) = o, Ho(pa) = o,

ce qui entraîne la nullité de tous les a^ et de tous les ^^a- Pour ce qui est des ^/;, nous ne savons pas.

Mais, tous les a étant nuls, il reste simplement

qi= p,-^-t- Y,-,

polynôme du premier degré.

En outre, on voit que cja se réduit à une constante, tandis que qi^ est une fonction linéaire du temps.

11 en résulte d(»nr que la surlace est invariable, ou du moins qu'elle n'est altérée que d'une façon const;inte, mais que les molécules sont mobiles : en d'autres termes, il y a des courants internes qui n'altèrent pas la surface extérieure.

Ainsi, nous venons de démontrer que l'énergie E ( -^ h P' + y

ne pouvait se réduire à une constante que si tous les a étaient nuls, aussi bien les a/, que les a„ ; mais nous avons démontré aussi quelque chose de plus, c'est que, si tous les a ne sont pas nuls^ l'énergie ne pouira même pas être un polynoiue du premier de" ré.

OSCILLATIONS d'uN SYSTÈME M ÉfAMQL' lî. 87

22. Étude des marées statiques. — Sous l'influence d'une force perturbatrice constante, la surface des mers prend une forme qui constitue la marée statique. Nous allons chercher comment se ■comporte dans ce cas le système que nous venons de considérer. Reprenons donc les équations difféi'entielles des oscillations d'un système soumis à l'action d'une force extérieure

^kiqi) =^^{a''i,,q"i,-^ a'u.q'iA' aiuqi) = Q/, = K/,e^-'.

Comme nous supposons ici la force perturbatrice constante,

nous aurons

Q/. = const., X = 0.

Nous avons évidemment une solution particulière du système -d'équations différentielles en prenant qi = const. ; il suffira d'y ajouter, pour avoir la solution générale, la solution générale des «quations sans seconds membres, c'est-à-dire une oscillation propre quelconque du système.

Mais le système particulier que nous considérons est constitué ■de telle sorte cjue H,, ne dépende que de la surface extérieure; nous nous trouvons donc dans le cas étudié au précédent paragraphe, où l'équation caractéristique des périodes des oscillations propres admet des racines nulles.

Eh bien, je dis que, pas plus dans le cas d'une force perturbatrice constante que dans celui des oscillations propres, il n'est possible d'avoir comme solution un polynôme du second degré.

En effet, la surface extérieure ne dépend que des paramètres q^', par conséquent, si les qi, subissent des variations, les qa ne variant pas, le travail des forces extérieures sera nul. Nous avons donc dans notre hypothèse Q^^o. Nous allons voir alors que l'énergie E sera un polynôme du premier degré.

On a (§ 12)

€t, comme ()b = o, cette expression se réduit à

dE Vr^ '

Supposons pour un instant que nos équations différentielles

38 PREMIÈRK PARTIE. — CHAPITRE I.

admettent coinme solution un polynôme du second degré; en différentiant l'équation

nous obtiendrons

FA-(^;-) = F/,(a,i+P/) = o.

Or, en posant qi[p) == q\-, on voit que les équations F;;(^',) = o ne sont pas autre chose que les équations qui définissent les oscillations propres du système.

Par conséquent, les expressions q'.=^ a^t -^ jS/ seront les coordonnées d'une oscillation propre du système, de celle qui correspond à A=:o; et, d'après ce que nous avons vu au paragraphe précédent, on doit avoir

q'b = '^hi-\- Pô, g'a= [3a = const.,

d'où

qh= -o-hf^^ ^ht + -(b,

qa=^ '^->at -+- Y».

dt

Comme Q^ est une constante, on a bien -j- = const. et E est

un polynôme du premier degré.

Mais nous avons démontré que ceci ne pouvait avoir lieu, dans une oscillation quelconque, que si tous les a étaient nuls. Par conséquent, dans les marées statiques, les valeurs des paramètres q seront simplement des polynômes du premier degré.

En outre, la dérivée [3/ sera une solution des équations sans second membre, c'est-à-dire une oscillation propre. Pour cette oscillation, on aura Ho = o, ce qui entraîne la condition que tou.s. les [j^ soient nuls.

Finalement, les oscillations constituant les marées statiques sont données par les valeurs

qa = Ta-

Les qa se réduisent à des constantes, tandis que les q^ sont des

OSCILLATIONS d'uN SYSTEME MÉCANIQUE. Sq

fonctions linéaires du temps et ne sont pas nuls en général. La forme de la surface est donc invariable, mais à l'intérieur nous pouvons avoir des courants continus.

23. Suivant que ces cOLirants existent ou non, nous pourrons distinguer deux sortes de marées statiques :

i'^ Marées statiques de la première sorte, q'^^o. Il n'j a pas de courants continus, simplement une déformation.

Dans ce cas, tous les q' et les q" sont nuls; les équations différentielles se réduisent à

2«//,^i= Qa-, c'est-à-dire