CHAPITRE X
ÉTUDE DES PROCÉDÉS D'INTÉGR/VTION DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES.
139. Méthode de Fredholm. — Nous avons, dans le Chapitre I, étudié d'une façon générale les conditions des petites oscillations propres ou contraintes d'un système mécanique, et nous avons donné la solution complète du problème dans le cas où le système considéré possédait un nombre fini de degrés de liberté.
On sait que le calcul se ramène à la résolution d'un système d'équations du premier degré où les inconnues ont pour coefficients des polynômes en A.
Lorsqu'il s'agit des oscillations contraintes, X est donné ; pour les oscillations propi es, on commence par déterminer À à l'aide du déterminant des équations.
Dans un cas comme dans l'autre, le problème est toujours ramené à la considération d'un système d'équations et de son déterminant.
Lorsque, de l'étude d'un système constitué par un nombre fini de points discrets, nous avons voulu passer à celle d'un s\stème naturel conlinu, nous avons été amenés à écrire un petit nombre d'équations différentielles devant servir à déterminer certaines fonctions inconnues.
Mais, si nous avions pu distinguer entre chacune des molécules dont est formé le volume des mers, nous aurions eu un nombre extrêmement grand d'équations algébriques pour déterminer autant de constantes inconnues.
On conçoit donc que l'intégration de nos équations différentielles puisse se faire par une généralisation judicieuse de la théorie des déterminants et des systèmes du premier degré.
Telle est précisément l'idée essentielle de la méthode de M. Fredholm, dont la découverte récente a fait faire un progrès
considérable à la théorie des é(juations aux dérivées partielles que l'on rencontre dans la plupart des problèmes de Physique mathématique.
140. Avant d'appliquer la méthode de Fredholm à l'intégration des équations différentielles de la théorie des marées, nous allons sommairement en exposer les principes généraux.
Soit un système de Ji équations linéaires à n inconnues se présentant sous la forme
les coefficients A//f étant des constantes.
Nous pouvons résoudre ce système par rapport à yh et en déduire
Nous avons ainsi deux substitutions linéaires inverses : les x sont fonctions linéaires àes y^ et inversement.
Cette notion simple peut être généralisée de plusieurs manières :
i" D'abord par une intégrale définie. Supposons, par exemple, deux fonctions 'i et o liées par la relation
La fonction /" [x^ r) est une donnée, elle constitue ce qu'on appelle le noyau. Faire subir à cp (x) l'opération S consistera à
prendre l'intégrale définie / /(x,j-)o(y)cfy.
Z) el 'h sont ici deux fonctions inconnues, et le noyau correspond aux divers coefficients A/y^; en regardant la quadrature comme une limite de somme, nous avons une relation linéaire avec une infinité d'inconnues.
y" Un autre mode de généralisation est obtenu par les séries ; soit, par exemple.
Les a/f sont des coefficients à déterminer : ils correspondent auxjKA; ^k à A,A-.
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. ^'ib
3" Nous pouvons avoir enfin une relation linéaire de la forme
o(x) = <\/"(x') -+- a <\i' (x) -4- ^ '^^{op),
a et [i étant des fonctions données de x.
<]>'(^) constitue une combinaison linéaire, puisque c'est la
limite de ^-
141. Quand on inverse une relation linéaire ordinaire, on obtient une relation de même nature.
¥.n partant d'une des formules généralisées, nous pourrons trouver par l'inversion, soit une relation de même nature, soit une relation de nature différente.
D'une intégrale définie, par exemple, nous pourrons obtenir encore une intégrale définie. Tel est le cas de l'intégrale de Fourier
ci(.r) = / e'^y'^{y)dy,
dont l'inversion donne
iT.'li{y)= I e-'^y z>{x) dx.
Au contraire, d'une série comme la série de P^ourier
tp(\r) = ^a/^-e'^"-"-^',
nous aurons par inversion une intégrale définie
2 7ra/.== / e-^^''^ o(x) dx.
Enfin, en inversant une relation sous forme d'intégrale définie, on peut obtenir une relation sous forme d'équation différentielle. Un exemple simple de cette dernière inversion nous est fourni par l'équation de Poisson.
Si nous supposons que V soit le potentiel d'une matière attirante de densité p, on a
d-z' étant un élément de volume à la distance /• du point attiré .27,^, G, et p' la densité au centre de gravité de cet élément.
236 PREMliÈRE PARTIE. — CHAPITRE X.
En inversant, nous avons
aV= — 4-iTp,
c'est-à-dire que p est donné par une expression différentielle.
C'est ce dernier mode d'inversion qui est applicable à la solution du problème des marées. Les équations que nous avons appris à (brmer dans les précédents Chapitres sont des équations différentielles ; nous en déduirons, par inversion, des équations intégrales du type de l'équation de Fredholm,
142. Équation intégrale de Fredholm. — L'équation de Fredholm est de la forme
On peut aussi l'écrire, en donnant à l'opérateur S la signification définie au paragraphe 140,
'^Xx)^ XScp(a7)-^<];(a7);
A est un paramètre arbitraire ; 'h [x) est une fonction donnée, de même que le noyau/ (.r,y); '^ {x) est la fonction inconnue que l'on se propose de déterminer.
Nous introduirons la notation suivante :
f Xy X2 ... Xn \
fi )=\fi^iyn)\
\ yx y-i ■■• Yn J
pour représenter le déterminant dont le terme général estf{xiyk)- Ce déterminant a n lignes et n colonnes ; ce sera, par exemple, dans le cas /^ = 3,
/(^iji) f{xiy.i) f{x,y:i) fi^^-yi) f{x-2y^) fix-iy^) /(■^3jKi) /(-î^sJKa) fi^sys)
f(x,y) étant une donnée de la question, le déterminant sera donné également.
L'équation ( i ) peut être considérée comme la généralisation d'un système d'équations linéaires de la forme
( 2 ) iCi r-- X "N A i/, XI, + yi.
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈllK DES MARÉES. 287
Les y correspondent à 'h (x), ce sont des données ;
Les X correspondent à o (^x) et ce sont des inconnues.
SA^TfX/f est une combinaison linéaire des x qui correspond à S (D i^x). Nous allons bientôt voir que la résolution de l'équation (i) et celle du système (2) peuvent se faire par des procédés tout à fait analogues.
Résolvons, en effet, le système d'équations ( 2 ) par rapport aux x^ et nous obtiendrons
Xl^
N^Tf et D étant des constantes dont voici la signification. D est le déterminant de nos équations linéaires; ce serait, par exemple, dans le cas de deux variables,
XA,, — XA,, XA21 1 — XAj.
D'une façon générale, le coefficient de Xf^ dans la /''^'"'^ équation
sera
— X A//. si i ^ k.
I — X A,,- si i — k.
Pour définir N/^, considérons les mineurs du déterminant D. La résolution du système d'équations par rapport à x nous donne directement
.,, = 2 Cm.'.-.
Mih étant le mineur obtenu en supprimant la ligne «etla colonne A". Dans le cas où i^k, ce mineur aura sur toute sa diagonale un terme i — A A//, et nous poserons alors
M,v=i-XN,7.
Dans le cas où /^A", nous écrirons
M,7.= -XN,7,.
Avec ces notations, la solution se présente bien sous la forme
Nous allons nous occuper maintenant de développer D et N/y^. Ce sont des polynômes entiers en X que l'on peut mettre sous la
forme
D = 1 — XSi + X^So— ...,
Désignons par
ai «2 • ■ • ^ ai a2 ... a
celui des mineurs du déterminant D qui est formé avec les A,yt, les i et les A" prenant les valeurs a,, a^, . . ., a„. Nous trouverons
le S s'étendant à tous les mineurs d'ordre n de la forme envisagée^ mais en regardant comme différents ceux qui ne difï'èrent que par l'ordre des lettres a^; si nous ne faisons pas cette distinction, comme chaque mineur d'ordre n apparaîtra n ! fois, nous devrons
écrire
-^ a, as ... a,
deux mineurs qui ne diffèrent que par l'ordre des a n'étant plus regardés comme différents.
Développons de même N/a. Le coefficient S'^^ de A" sera une somme de déterminants ayant une ligne et une colonne de plus que les déterminants correspondants du coefficient Sn : on les obtiendra d'ailleurs en bordant respectivement chacun des mineurs de A qui constituent S,,, de la k"^"^<^ ligne et de la i"^"^^ colonne. Nous aurons donc, en sommant sans séparer les mineurs égaux,
ni S' =
Telle est la solution du système d'équations linéaires considéré.
143. Il s'agit maintenant de généraliser cette solution pour l'étendre à l'équation de Fredholm.
Alors, à. Aif( correspond /(.r/, yii)dyk-
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. aSg
A l'indice a^, nous ferons correspondre la valeur Xk de la variable x ; de telle sorte que le mineur
deviendra le déterminant formé avecy(^/, xu)dxh.
La formule qui donne S„ s'écrira donc avec nos notations
/( Xi X=i ... Xn \ f\ dxy dx» . . . dxn^
\ Xi X^ ... X,, )
l'intégrale étant prise entre les limites o et i.
On voit que 8,^ est une donnée, qui se calculera par de simples quadratures.
Nous obtiendrons de même S^^, en remarquant que l'indice i correspond à la valeur x et l'indice k à la valeur j^; par suite
/[y xi Xo ... x,i \ /( \ dxidx^.. .dxn,
y *V ce \ ^2 • • • ^ n J
l'intégration étant encore faite entre les mêmes limites.
S^, n'est donc plus une constante, comme l'était S„ ; c'est une fonction de x et dejK? mais on peut également la calculer par des quadratures.
Alors, la solution de l'équation de Fredholm sera
Nfa;. r, X)
(3) o{y) = '\{y) — \ i dx^\{x)
avec
La solution est ainsi obtenue par une généralisation fort naturelle de celle des équations linéaires. Il faut toutefois s'assurer que cette généralisation est légitime.
Nous n'entrerons pas ici dans les détails de la démonstration; nous indiquerons seulement qu'en s'appujant sur un théorème de M. Hadamard, Fredholm a démontré que, si
24o PnKMIÈRE PARTli;. — CHAPITRE X.
on a
Il en résulte que D(à) est une série toujours convergente; c'est une série analogue à celle qui donne e-^'.
11 en est de même de N. Par conséquent, la fonction sous le
signe / est une fonction méromorphe de A. Malheureusement,
chaque terme n'est pas facile à calculer.
144. Cas où la méthode est en défaut. — La méthode se trouverait en défaut pour les valeurs de X qui annulent D(à). C'est ce qui se présente en cas de résonance. Tant que X n'est pas égal à une des valeurs correspondant aux périodes d'oscillations propres, c'est-à-dire tant que 1^(a) n'est pas nul, nous trouverons pour la solution une valeur finie; la solution deviendrait, au contraire, infinie si la résonance était parfaite.
Supposons maintenant que D().) = o pour À ^ À,; la solution donnée par l'équation (o) sera en général infinie; elle pourra rester finie cependantpour un choix convenable de la fonction 'l(^) si le numérateur
s'annule. De plus, l'équation sans second membre
OÙ l'on a remplacé '^(.r) par zéro, admettra une solution 'f/(^), de
sorte qu'on aura
c2/(ar) = X(S (Oi( x).
Cette solution correspondra dans le cas des marées à une oscillation propre du système. On pourra alors ajouter à la solution (3) cette fonction ©/(a?) multipliée par un facteur constant arbitraire, en sorte que la solution de l'équation de Fredholm devient indéterminée.
C'est ainsi que, dans le cas d'un système d'équations ordinaires du premier degré, quand le déterminant s'annule :
1° La solution devient en général infinie, et indéterminée dans certains cas particuliers ;
2" Les équations homogènes, c'est-à-dire privées de second membre, admettent une solution.
14o. Équation intégrale généralisée. — Le résultat obtenu avec l'équation de Fredholni est susceptdjle de nombreuses généralisations.
En premier lieu, au lieu de prendre zéro et un comme limites d'intég'i'ation, on peut prendre des limites quelconques : il est évident que rien ne serait changé.
En second lieu, on peut considérer des intégrales doubles ou multiples : la méthode s'appliquerait également sans modifications essentielles.
Supposons que l'on ait
M et N sont deux points de coordonnées respectives x,y, ç, /] situés à l'intérieur d'une certaine aire du plan. r/c7 est l'élément de surface 'lqd-f\ dont le centre de gravité est N. Nous supposons donnée la fonction ,/(M, Nj des quatre variables x, y^ ç, y] : c'est le noyau ; '■j>(Mj est une fonction de x, y également donnée. La fonction ■:^ est à déterminer, et nous considérons l'intégrale
G(N)y(M, N)d~ comme étendue à l'aire entière.
En désignant par
/ M, AI2 ... Mn
M. Mo ... M,
le déterminant dont l'élément général est /(M/, M/,) pris pour tous les centres de gravité respectifs Mi, Ma, ..., M,^, nous aurons
r / Ml iM., ... M„ \
'^■'"=j-^M, m; ... mJ^^'^^^---^^"'
et la solution s achèvera comme précédemment. 146. Noyaux réitérés. — Reprenons la notation
Scp(a') = j f{-t\y)o{y)dy
qui définit une substitution linéaire a[)])liquée à la fonction es. P. - m. 16
Appliquons-la plusieurs fois de suite. Nous aurons
S ^{y)=Jf{y,z):^{z)dz,
S2cp(a7) = j f{x,y)f{y, z)^{z)clydz,
?>^^{x)=^Jf{x,y)f{y,z)f{z,t)o{t)dydzdt,
Si nous posons
Mor,z) -= j f{x,y)f(y,z)dy,
Mx,t)=Jf{x,y)f{y,z)f{z,t)dy, dz,
nous pourrons écrire
f->{x^ z), /^(x, t), ... sont des noyaux réitérés.
Pour montrer l'importance de cette notion capitale dans la théorie de Fredholm, prenons d'abord l'équation elle-même,
o(x) = XS o(x) -\- 'b{x).
On peut, en première approximation, négliger X et prendre
cp(a?) = '\i(x).
Une deuxième approximation donnera
^(x) = '\i{x)-\- IS'hix).
Puis, par d'autres approximations successives,
^(x) = '\i{x)-h-lS'\i(x)^X^-S^'ii(x)-+-h^S^<\>(x)-h....
Les coefficients des termes successifs s'obtiendront donc en se servant des noyaux réitérés, et nous aurons ainsi o(x) sous la forme d'une série procédant suivant les puissances croissantes de)..
l'IlOCÉDÉS d'intégration DKS ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 248
Tout à l'heure, nous avions obtenu 'j(x) sous la forme d'un quotient de deux séries entières en À. Ici, la division se trouve effectuée. Seulement, il convient de remarquer que, dans la solution de Fredholm, le numérateur et le dénominateur convergent toujours, quel que soit \; tandis qu'ici la convergence a lieu seulement si ). est petit.
