Appliquons l'opération S aux deux membres de l'équation
de Fredholm
0(37) = XSœ(j;) -+- '\i{x).
Nous aurons D'où
0(37) = 'k-S-o{x) ->^\S'li(x) -{- <li(cc).
Les deux derniers termes du second membre sont des fonctions connues. En partant du noyau simple, nous aurons donc obtenu une équation de même forme et équivalente, mais renfermant S-, c'est-à-dire le noyau doublé. Et nous pourrions continuer de même à l'aide des noyaux réitérés. Or, Ir. substitution d'un noyau réitéré au noyau simple peut nous procurer dans certains cas un avantage précieux.
En effet, l'application de la méthode exige que le noyau simple soit constamment limité; il est nécessaire que l'on ait
Supposons que cette condition ne soit pas remplie. Considérons, par exemple, le cas de l'équation intégrale à deux variables et supposons que le noyau/(M, N) devienne infini d'ordre a lorsque la distance MN est nulle :
MN
Prenons un autre point P, fixe comme M, et considérons une
fonction/, (N, P) qui soit de l'ordre JNP . Formons l'intégrale multiple
/(M,N)/i(N, P)rfT,
di étant l'élément de surface (ou de volume dans le cas d'une équation à trois variables) dont le centre de gravité est JN. On obtiendra ainsi une fonction es (M, P) et l'on reconnaîtrait que cette fonction est de l'ordre de
n étant l'ordre de l'intégrale.
Par conséquent, si le noyau simple devient infini d'ordre a, le noyau double le sera d'ordre 2 a — /« ; de même, le noyau p le serait d'ordre /?(7. — n) + n.
Pour obtenir un noyau réitéré qui ne devienne plus infini, il suffira donc de choisir/; de telle sorte que
pi/J. — «) H- n < O,
^ Il ( p — \) a < —
P 11 suffît donc que l'on ait
se -< n.
Ceci nous permettra d'appliquer la méthode de Fredholm, même dans le cas où le noyau devient infini.
Ainsi la méthode sera applicable pour une intégrale simple lorsque a << i , pour une intégrale double lorsque a << 2, etc.
C'est là le point essentiel de la théorie.
148. Application de la méthode de Fredholm à l'équation de Laplace. — Si nous commençons d'abord par faire abstraction de l'attraction du bourrelet, les équations que nous avons rencontrées dans l'étude du problème des marées sont de la forme
do , do .
\o — a -p- -4-6-5-^ -+-co-(-/, dx dy ' ''
o étant une fonction inconnue, et «, 6, c,/des fonctions données de X et y. De plus, il faut tenir compte des conditions aux limites.
Avant de chercher à intégrer ces équations, nous commencerons par traiter une équation de même forme et plus simple, l'équation
PROCÉDÉS d'intégration DES EQUATIONS DU PROBLEME DES MAREES. '245
de Laplace
AV = o,
qui définit le potentiel en dehors des masses attirantes.
On sait que, dans V espace à trois dimensions, cette équation est satisfaite par le potentiel newtonien.
Dans le plan, au contraire, léquation de Laplace n'est pas satisfaite par le potentiel newtonien, mais elle l'est par le potentiel logarithmique qui correspond à une attraction proportionnelle à - •
On passe facilement du premier cas au second. C'est ainsi que le potentiel newtonien d'un cylindre indéfini dont les génératrices sont parallèles à Oz et dont la densité est indépendante de 2, se ramène au potentiel logarithmique de la section droite passant par le point attiré. Si a est la densité au centre de gravité de l'élément d'y de la section droite situé à la distance /' du point attiré, l'attraction newtonienne du cylindre élémentaire homogène indéfini aj^ant pour hase cet élément sera ; elle est donc égale à
celle c|ue produirait l'élément di si la densité y était "i^. et si cette attraction dérivait d'un potentiel logarithmique.
De même, le potentiel newtonien d'une surface cylindrique dont chaque génératrice est homogène se ramène au potentiel logarithmique du contour de la section droite.
Nous allons rappeler hrièvement les principales propriétés du potentiel logarithmique.
Si nous considérons une aire plane attirante, l'expression du potentiel logarithmique en un point x^ y du plan de cette aire sera
/"pV/T'Io^f..
ch' étant un élément de la surface attirante, p' la densité au centre do prn\ité de cet élément et /• la dislance de ce centre de gravité au point considéré a?, i'.
Ce potentiel satisfait à l'équation de Laplace, en dehors des masses attirantes. En tout point faisant partie des masses attirantes, le potentiel logarithmique satisfait à l'équation de Poisson
AV = — 2-p.
On sait que, dans le cas du potentiel newtonien, la formule de
Poisson s'écrit
AV = — 47rp,
Celle qui est relative au potentiel logarithmique en est une conséquence immédiate, d'après les considérations précédentes.
149. Potentiel logarithmique de simple couche. — En supposant que les masses attirantes soient réparties sur une courbe plane, nous aurons le potentiel logarithmique de simple couche dont l'expression est
V= / p'ds'\ogy
ds' étant l'élément de la ligne attirante.
Ce potentiel est une fonction continue. Mais en est-il de même
de ses dérivées, et en particulier de -7—? ^ an
Soient M le point :r, y^Wle point attirant ds' ; abaissons la normale MN sur la courbe attirante : la composante de l'attraction
Fig. 24.
suivant cette normale a pour expression [Jig- 24)
/, , , cos J; p as -•
11 est intéressant de savoir ce qui se passe lorsque le point M vient sur la courbe.
Prenons de part et d'autre du point N deux points a, [3 infiniment voisins. Ils partageront la courbe entière en deux parties : le petit arc aN,6 et le reste de la courbe. D'où deux parties dans rintcgrale. Lorsque le point M se rapproche de N, quelque petit
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 247
que soit a[3, la première partie tend vers izp, p étant la densité en M; quanta l'autre partie, elle conserve la forme d'une intégrale. On aura donc
dY
dn '
l'intégrale étant prise sur la courbe, de a à [j, en laissant de côté le petit arc; c'est-à-dire, à la limite, étant prise sur la courbe entière.
Si, au lieu de tendre vers N par des points intérieurs, on était parti d'un point extérieur à la courbe, on aurait trouvé pour la première partie de l'intégrale — -p au lieu de Ttp.
r/V La composante normale -7— de l'attraction n'est donc pas uiïe
l'onction continue : elle éprouve un saut brusque de STip quand on franchit la simple couche au point de densité p.
loO. Potentiel logarithmique de double couche. — Considérons deux courbes infiniment voisines; et supposons, bien que cette
Fi g. 24 bis.
hypothèse ne soit pas essentielle, que la distance t de ces courbes, estimée suivant la normale, soit constante ( fig'. i!\\bis\
Soient ds et cAs" deux éléments correspondants; sur ds' nous supposerons une masse attirante pV/5' et sur d^' une masse égale el de signe contraire — o' ds' . Appelons ;• et /•' les distances du point x^y aux centres de gravité respectifs des éléments ds^ çxdé' . Nous aurons l'expression du potentiel logarithmique de double couche en rem plaçant, dans celle du potentiel de simple couche, log-
par los' loi; -• Comme r et /•' sont très voisins, on a
,1,1 (l . \ z dr
^ r " /■ dn "" r r dn
•248 PREMIÈRE PAUTIE. — CHAPITRE X.
Nous aurons donc, abstraclion faite de s,
Or,
ds' coso ,,^,
d^' étant l'angle sons lequel on volt du point M rélément ds' ; par suite
Pour voir ce qui se passe lorscjue ie point M se rapproche de la courbe, menons la normale MN et la perpendiculaire aM^S à cette normale {/ig'- aa). L'arc a|3 est vu de M sous l'angle t:, donc
p est une quantité intermédiaire entre le maximum et le minimum
de p sur a3 ; à la limite, ce sera la valeur de ,o au point N.
Fi". 25.
L'intégrale est étendue au reste de la courbe, en dehors de l'arc aN|3; à la limite, elle sera étendue à la courbe entière.
Si l'on se rapprochait du point N par l'extérieur, on aurait — tzo au lieu de r.p.
Par conséquent, le potentiel logarithmique de double couche n'est pas une fonction continue dans tout le plan : elle est continue à l'intérieur, ainsi qu'à l'extérieur de la couche attirante, mais elle éprouve une discontinuité brusque de 27:3 quand on franchit
PROCEDES I) INTEGRATION DES EQUATIONS DU PROBLEME DES MAREES. î^g
la double couche. On volt donc que le potentiel logarithmique de double couche se comporte comme la dérivée première —j— du potentiel logarithmique de simple couche.
131. Résolution du problème de Dirichlet. — jNous allons nous servir des propriétés du potentiel logarithmique pour résoudre, par la métliode de Fredholm, le problème de Dirichlet dans le plan.
11 s'agit df" trouver une fonction V qui soit harmonique à l'intérieur d'une courbe plane lermée et qui prenne sur cette courbe des valeui's données V = F.
Nous pourrons toujours représenter cette fonction par le potentiel d'une double couche dont il faudra déterminer alors la densité. Pour cela, nous nous servirons de l'équation
V = -p -i- / p as
qui est de la même forme cpie réc|uation intégrale de Fredholm
p est la valeur de la densité au point M, c'est l'inconnue à déterminer : p correspond à o(x). V est une fonction connue qui correspond à 'i'(-^), o' correspond à 'f (ç), cls' à r/;. — — ^ correspond
Fii;-. 2(i.
au noyau. Nou> su|)posoiis que la courbe ne présente |)as de points anguleux, ce noyau est donc (ini. Devant notre intégrale, il n'y a pas de facteur ), : pour reirouverla forme de Fredholm, nous rétablirons ce facteui-, il suffira de faire ensuite A = i . L'intégrale est prise tout le long du contour ( fis;'. 26).
Le problème est donc entièrement résolu |>ar la méthode de Fredholm.
