CHAPITRE X

152. Le plus souvent, dans les questions relatives aux marées, nous aurons à nous donner sur le contour, non pas la valeur de V,

mais celle de

dN^ dV

dn ds

C étant une fonction donnée de s.

Commençons par envisager le cas où l'on donne sur la courbe

JNous nous servirons alors de la formule du potentiel logarithmique de simple couche {Jig. ay).

^P^fp'

ds'

cosdi

Fis

Observons tout d'abord que la fonction F ne peut pas être quelconque. En effet, nous aurons, en vertu de la formule de Green,

/ Av «cr = o,

puisque, la fonction V étant harmonique à l'intérieur du contour,

on a

AV = o.

Donc, la fonction F doit satisfaire à la condition

I F ds = o.

supposons cette condition remplie. Le noyau est ici — ^, au lieu de -; mais il reste également fini, et nous avons encore

une équation intégrale de Fredholm qui se résoudra sans difficulté.

PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 25 1

Si, au contraire, la fonction F est arbitraire, on pourra toujours trouver une fonction V satisfaisant à la condition

R étant une constante arbitraire dont on disposera de telle sorte que

Mais alors, il reste a expliquer comment il se fait que la méthode de Fredholm ne s'applique pas quelle que soit la fonction F. Si nous rétablissons pour un instant le paramètre )., la solution nous sera donnée sous forme d'un quotient de deux séries entières en )w Or, il arrive ici que le dénominateur s'annule pour )^ ^ i . Il faut donc nécessairement que le numérateur s'annule aussi, et l'on trouve précisément que cela exige

F ds = o.

153. Considérons maintenant le cas où nous nous donnons sur la courbe (B et C étant deux fonctions données de s)

dn ds

Ici encore, nous ne pourrions pas toujours prendre pour valeur de cette expression une fonction F arbitraire.

Si, en efi'et, C est une constante, et si B est nul, nous devrons

poser

dV ^dV ^ ,, dn ds

K étant une constante choisie de telle sorte que

Eu ellet, nous avons

f (F -^ K) ds =:^ f '^^ ds -h C f d\.

252 PREMIÈRIÎ PAISTIH. — CHAPITRE X.

Or, la première intégrale du second membre est nulle en vertu de la formule de Green et la seconde est nulle également puisque l'on fait tout le tour de la courbe.

La solution nous sera encore fournie par un potentiel de simple

couche, et l'inconnue o sera donnée par une équation de Fred-

holm. En effet, la composante tangentielle de l'attraction a pour

expression

V^ r , , , siaJ;

Nous aurons donc à résoudre l'équation intégrale

-, h C-; h BV = 7:0 -r- / p ds ~ + (^ ^ B lo^

dn ds ' ! ^ ^ r r

Le noyau est ici

cos'i; ^ suri; i -i- C -1- B lo£j - -

C'est une fonction de s et de s' qui peut devenir infinie pour r = o parce qu'on a alors sind/ = i.

Ainsi donc, le nojau devient infini d'ordre i et nous avons une intégrale simple. Malgré cela, on peut appliquer la méthode de Fredholm, mais avec quelques modifications. On sait, en effet, que la composante tangentielle de l'attraction reste finie, à condition de considérer la densité 0 comme continue.

Comment cela peut-il se faire, puisque l'intégrale / p' ds' — ^-^

n'a plus alors aucun sens, un de ses éléments devenant infini? Pour expliquer cette contradiction, considérons, par exemple.

l'intégrale

/ /( 'V) dx

et supposons qu'entre les deux limites d'intégration, pour la valeur zéro,y(^) devienne infini. Alors, l'intégrale n'est plus convergente, mais on peut définir néanmoins, d'après Cauchj, sa valeur pi'incipale. Intégrons de — i à ^ — s, puis de + s à -t- 1 en laissant de côté le petit segment compris entre — s et -h £ : nous aurons ainsi une intégrale qui sera finie. Puis, faisons tendre s vers zéro : l'intégrale tendra vers une limite qui sera sa valeur principale.

PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 253

Si l'on applique celte règle au calcul de notre attraction tangentielle, on détachera deux petits arcs égaux de part et d'autre du

point iM {fig- 28) et l'on calculera l'intégrale / z' cis' '^ sur tout

V\'z. :îS.

le reste de la courbe en dehors de ce petit segment; en faisant tendre ensuite les petits arcs vers zéro, on aura la valeur principale de l'intégrale, qui représentera ia composante tangentielle.

lo4. Nous allons appliquer encore la méthode de la réitération du noyau, mais elle nous conduira ici à des résultats tout particuliers qui nécessitent un peu d'attention. Soit /\ .2;, y) le noyau qui est une fonction analytique et qui devient infini pour .r = t, de telle façon que nous ayons

S'^(x) = l f(x, y ) o(y) dy.

Nous supposons donc que/(.r, y) est une fonction analytique qui n'a d'autre singularité que le pôle ) ■=^ x.

Le clieuiin dintégraliou sera la droite réelle AB |>assanl par le point x\ la fonction sous le signe / de\enant infinie sur le chemin d'intégration, il laut prendre la valeur principale de Gauciiy et

254 PRK-AIIÈRE PVRTIK. — CIIAPITRK X.

poui' cela appliquer la règle suivante : intégrer suivant les deux chemins curvilignes A-PB et AP'B et prendre la moyenne arithmétique {fig. 29).

Pour réitérer le noyau, nous poserons

chacune de ces intégrales devra être calculée d'après les mêmes règles, c'est-à-dire qu'on devra intégrer par rapport à 5 le long des deux chemins AMB, AM'B passant de part et d'avitre du points et prendre la moyenne arithmétique; et de même par rapport k y le long des deux chemins APB, AP'B passant de part et d'autre des deux lignes AMB, AM'B et par conséquent de part et d'autre du point ;; et prendre encore la moyenne arithmétique. En d'autres termes, nous avons

S-^o{x) ^J J /(z, j)f(.r, z) <D{y ) df dz.

Pour calculer cette intégrale douhle, nous devrons la calculer successivement en faisant suivre :

A r le chemin APB, à ^ le chemin AMB ; .) AP'B, » AMB;

» APB, )) AM'B;