APB «^AI"B *A\P'B -^AP'B • ^AP
Car le contour AM'BQ'A tourne autour du pôle z =y dans le sens rétrograde (d'où le signe — -).
Nous pouvons donc écrire
^AUB ^AQ'B „AQB ^AQ'B ^C
4S2cp(^)=/ +/ +/ +/ +/
■AvPB •^'^APB «^AP'B <^AP'B -'aPBP'A
OU plus simplement
^AQB + AU'l! pC
C étant un petit cercle décrit par le point j)^ autour du pôle j^ = x. Le premier terme peut s'écrire
if
^ «^APB + APB
/2(^, jK)t?(jO^<r
avec
AyB + Ay'B
M''^y) = -J f{x,z)f{z,y)dz.
Ce noyau y2(-^7 Jk) i^e devient pas infini même pour x=^y,
256 PREMIÈRE PARTIE. — (JIIAPITKE X.
ce qui nous permet d'écrire le premier terme sous la forme
l'intégrale étant prise le long cle la droite réelle Aj:B.
Quant au second terme, il peut se calculer par la méthode des résidus ; si R(^) est le résidu pour JK = ^7 de la fonction /( x, y) considérée comme fonction de y^ on trouvera
On aura donc finalement
Nous avons vu plus haut (§ 147) que l'équation de Fredholm
v^(x) = Scp(a7) -^'h{x)
pouvait se ramener à l'équation
0(5-) = S-G(a?)-^ 6(ir), où
est une fonction connue. Cette équation, dans le cas qui nous occupe, prendra la forme
o^x )[i ^ 7i-^K^x)] = J Mx, y) ^{y ) dy ^ ^{x).
Il suffit de diviser par i — t.'-VC- [x) et de faire passer ., ^, sous'
le signe / pour retrouver la forme ordinaire de l'équation de Fredholm.
Il faut toutefois que 1 — -Tû-Pi-f^) ne s'annule pas entre leslimites d'intégration. Cette difficulté se présenterait, dans le cas qui nous occupe, quand le bassin océanique envisagé est traversé par le parallèle de latitude criticjue {vide infra n" I60).
Nous reviendrons plus loin sur cette diificulté.
Notre no jau
se présente sous la forme d'une fonction analytique avec un pôle.
Une difficulté pourrait se présenter toutefois; notre fonction
est finie même pour x = J', mais il peut y avoir exception si les deux points x et y se confondent entre eux et en même temps avec l'une des extrémités A. et B du chemin d'intégration. Heureusement dans le cas qui nous occupe, nous n'avons pas à redouter cette difficulté, puisque le chemin d'intégration est une courbe fermée; nos intégrales, en effet, sont étendues à tous les éléments d'arc <^i' d'une certaine courbe fermée plane; il faut donc dans l'intégration parcourir cette courbe tout entière depuis un point quelconque de cette courbe et jusqu'à ce qu'on soit revenu au point de départ.
Le point initial de l'intégration étant ainsi choisi arbitrairement ne joue aucun rôle particulier.
Supposons maintenant v^ue f{x ^ y) soit de la forme
/(^, r) =/'(ar,7)+/"(a:-,7),
OÙ f (x, y) est une fonction analytique n'ayant d'autre singularité que le pôle y = x; tandis que .f"{oc^y) reste fini sauf au point jK = -*? où il devient logarithmiquement infini. Nous pourrons écrire alors
Soix) = '6' o{x) -\- S"cp('a?),
si S' et S" sont pour/' et/" ce que S est pour/. Par réitération nous aurons
S2'i>(a7) = S'2(p(.r)-T-S'S"o(:r)-4-S"S'cp(:r) + S"2o(:i;).
Le calcul de S'-'j(.i7) se ferait comme nous venons de le faire et l'on aurait
S'S"+S"S'-i-S"^=jK(;r,7)cp(jK)<r,
où K(j7, y) serait fini ou logarithmiquement infini; car on Irouverijit, comme nous l'avons dit plus haut, au n" \ \~ une ex|)ression qui pour y = x devient infinie d'ordre
Ici n = i ; a et p sont égaux à i pour S' ou infiniment |)etits pour S"; de sorte que a -+- [j — /i est nul ou infiniment petit. P. - III.
La méthode de FredUolm est donc toujours applicable. Dans le cas qui nous occupe, le noyau est
^ Si.pl.
^^-Blo^-: : •
le second terme est de la forme/' (^, y) et les deux autres de la
iorme f" (x, y). ■
loo. Introduction des fonctions de Green. — Ainsi donc, d'une manière générale, nous pouvons nous proposer de fournir une fonction V harmonique à l'intérieur d'un contour et satisfaisant sur ce contour à la condition
dV dV
-j h G— 7- M- BV = fonction donnée. ,
an as
L'analj^se se fera comme ci-dessus, à l'aide du potentiel, de simple couche et en prenant la valeur principale des intégrales. JNous sommes ainsi conduits à définir certaines fonctions G, que l'on peut considérer comme la généralisation de la fonction de Green ordinaire, et qui satisfont à la condition aux limites
dG „ dG , p^
—, 1- Ci — ; h BG = o.
dn as
Rappelons d'abord la définition de la fonction de Green ordinaire.
Considérons une aire plane limitée par un contour donné.
Fis. 3o.
Désignons par x,y les coordonnées d'un point fixe M situé à l'intérieur du contour et par R sa distance au point variable Pide coordonnées E, r\ {fig. 3o). : .
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈMK DES MARÉES. aSg
La fonction de Green ordinaire G(IVI, P) relative à l'aire considérée et au point M est définie de la manière suivante : En premier lieu, la fonction
G — log- = Gi
doit être harmonique dans tout l'intérieur du contour. En second lieu, G doit s'annuler sur le contour.
La fonction log -5- = Go, qui est le potentiel logarithmique de M
en P, satisfait à l'équation de Laplace en tous les points tels que P; elle présente seulement une irrégularité lorsque P se confond avec M. Il en est de même de la fonction de Green. Quant à la fonction G|, elle satisfera à
AGi = 0
en tous les points à l'intérieur du contour, et, sur la courhe, elle prendra la valeur connue
La détermination deGj, qui entraîne celle de G, revient donc à la résolution d'un problème de Dirichlet. Inversement, la connaissance de G permet de résoudre ce problème.
Nous pouvons étendre cette notion et considérer des fonctions de Green généralisées qui répondront à d'autres conditions aux limites.
Imaginons, par exemple, qu'on doive avoir sur la courbe
K étant, non pas une donnée de la question, mais une constante à déterminer. Nous aurons alors, dans tout le domaine limité,
AGl := o ■
et, sur le contour,
c(fGi f/Gj ,. f • 1 • •
— ;; — = ; h K = tonc tioii co 11 11116 -H co iistaii tc 3 rbi t rai l'C.
an an
Nous retombons donc sur un problème déjà traité (§ Ioi2). D'ail-
26o PRKMIKKK PAUÏIi:. — CHAIMTRK X
leurs, on a ici
parce que
Plus généralement, on peut se donner sur la courbe
dG ^ f/G
— h C — — h BG = o,
an as
Cet Bêlant des fonctions données de 5. La fonction harmonique G, devra satisfaire alors, svirla courbe, à la condition
«G] .-- ciGi „ „ p
-+- C — -, 1- BG] = lonclion connue.
an as
Mais le problème ainsi pwsé n'est pas toujours possible. Si l'on
avait
B = ^, ds
il faudrait se donner la condition
dG ^dG
f- G — ; h BG = K
d/i as
et l'on trouverait, comme ci-dessus, que l'on a
En particulier, c'est cette condition aux limites qu'il faut
adopter, si Ton a
G = const., B = o.
On voit que le problème intérieur de Diiichlet, avec les diverses conditions sur le contour que nous avons successivement envisagées, peut se ramener à la détermination de la fonction de Green ordinaire ou généralisée à l'intérieur du contour : de la connaissance de G, on déduira, en effet, celle de G).
Dans la plupart des cas, on éprouvera autant de difficultés à construire l'une ou l'autre de ces fonctions; parfois, cependant, l'expression de la fonction de Green pourra s'obtenir facilement.
Certaines propriétés de la fonction de Green ordinaire peuvent également convenir aux fonctions généralisées.
PROCÉDÉS d'IiNTÈGUATION DKS ÉQUATIOXS DU PROBLÉMK DES MARÉES. 9f)l
Ainsi, la fonction ordinaire est symétrique, c'est-à-dire qu'elle ne change pas quand on permute les points M et P :
Cette symétrie existe aussi pour les fonctions généralisées, mais
seulement si
Les autres fonctions de Green ne sont pas symétriques.
156. Représentation conforme sur un cercle. — La fonction de Green ordinaire permet de faire sur un cercle la représentation conforme de l'aire à laquelle elle est relative.
Soit, en effet, dans une aire donnée, un point fixe M. Calculons la fonction de Green ordinaire G correspondant à ce point. En tous les points de l'aire distincts de M, on aura
AG = o et, par conséquent,
dG , dG ,
-r- dx -j— dy
dy dx
sera une dilîerentielle exacte.
Si donc nous introduisons la fonction
la fonction
— G + jH
sera une fonction analytique de r + iy.
A chaque point x^y de l'aire donnée, faisons maintenant correspondre un point x' , y' du plan, tel que l'on ait
x' = e~^ cosH, y' = e~^ sln H ;
x' el y' sont des fonctions de x el y. ~Soiis obtenons ainsi une représentation de l'aire, et, comme
x' -h iy = ^-o+'ii
est une fonction analytique de x -+- ij., cette représentation sera conforme.
262 I>REMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE X.
Toutes les courbes
G = const.
situées à l'intérieur de l'aire donnée seront représentées par des cercles concentriques
x'--^ y'- = const.
Sur la courbe limite de l'aire, on a
La représentation conforme sera donc limitée par le cercle
Au point M, G devient infini : le point correspondant sera
donc
c'est-à-dire le centre du cercle.
Si donc on connaît la fonction de Green ordinaire relative à un point particulier M d'un certain domaine, on pourra faire la représentation conforme de ce domaine sur un ceixle dont le centre sera le point représentatif de M.
Or, nous avons vu qu'en faisant un cbangement de variables conduisant à une représentation conforme, les équations du problème des marées conservaient la même forme (§ 74-77).
On serait ainsi ramené au cas où le bassin océanique considéré serait représenté sur la carie par un cercle.
Un intérêt tout particulier s'attache donc à l'étude des fonctions de Green dans le cas du cercle.
157. Fonctions de Green relatives au cercle. — Il est facile de former la fonclion de Green ordinaire relative à un cercle O de rajon R et à un pôle M intérieur à ce cercle {fig. 3i).
Traçons le diamètre OM et prenons sur cette droite un point M'
tel que
OMxOM'=R2.
On a simplement
G = 'ogj^-log^+const.,
la constante étant égale a 'ogTTïrr"
PROCÉDÉS d'iNIÉGHATION DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 263
Formons également la l'onction de Green généralisée répondant à la condition sur le contour
clG ^ clG
an as
G étant une constante. ÎNous aurons
G = lo8^+alog^
a et 3 étant des fonctions de G.
PPM'M,
Fis. 3i.
En particulier, si G = o, on aura
Geci nous donne en même temps une idée de l'ordre de grandeur de la fonction G.
lo8. Application au problème des marées proprement dit. — Nous avons vu qu'en négligeant II", l'équation générale du problème des marées était
^ ±(h ^?\ à(h,,^) ^ l ÀUdx\ ^ dx] à{x,y) k'^
Elle se ramène donc à la forme
a, Z>, c, / étant des fonctions données de x et de y. f correspond au terme provenant des forces extérieures. Pour intégrer cette équation, supposons d'abord que la condi-
tion aux limites soit
cp = o
sur le contour.
Nous introduirons alors la fonction de Green ordinaire G satisfaisant sur le contour à la condition
Soient toujours j?, y les coordonnées de M; i, '/] celles de P. Désignons par rt', b', c', /', o' ce que deviennent les fonctions a, b, c, /, o lorsqu'on y remplace les variables ^, y par ç, 'i\ et posons
^9 7 '^'^T ri?
Appelons di' l'élément d'aire d\dr^ dont le centre de gravité est en P.
Considérons une fonction C2 définie par la relation
27rC3 = / F'
G di\
l'intégrale étant prise par rapport à d\ el dr^ dans toute l'étendue du contour. Comme F' est une fonction de ç, r^ et G une fonction de x^ y, ^, Y), C3 sera une fonction de x et àe y.
Je dis que la fonction es ainsi définie satisfait au problème. En effet, calculons Acs. Nous avons
Gi étant une fonction harmonique. Donc
^ = / ^ '"^' ;vfp ^^"' ^ / i|- ^' "^"'-
Dans la seconde intégrale, la fonction restant régulière dans
l'intérieur du contour, nous pouvons différentier sous le signe / >
et, comme AG| = o, le terme correspondant de A'j sera nul. (^uant à la première intégrale, elle représente le potentiel loga-
l'UOCÉDKS d'intégration DES ÉQUATIONS DU l'UOBLÉMli DES MARÉES. '^Gd
rithmique, au point x^ y où la densité est —^ d'une matière
attirante dont la densité est au point ç, r,. On a donc, en
vertu de Féquation de Poisson,
Ac3 =.2Tr/' —\ = F.
Ainsi la première condition est bien remplie.
La seconde l'est également, car, si le point x^ y vient sur le contour, G s'annule et, par suite, o.
Par conséquent, la fonction de Green ordinaire G étant préalablement déterminée, nous aurons ce par l'équation
— a-rtf = / F'
Nous allons démontrer maintenant que cette équation peut se ramener à la forme d'une équation de Fredholm. Nous pouvons, en effet, l'écrire
— 2 TTca = lia' —i- -H b' ~4- -^ c' vj' \ Çf ch' -\- 1 f'G d'y'. ' J \ d\ dr, ' / J ''
Or, I /'G d'y' est une fonction connue, puisque /' est une fonction donnée et c|ue la fonction G a été déterminée.
Si donc, nous avions simplement / ccp'Gf/o-', nous aurions bien
une équation de Fredholm. Mais il faut tenir compte aussi des
do' do termes en -^ et -r-* rtÇ d-t\
Pour cela, intégrons par parties. Soient a', 9)' les cosinus directeurs de la noi^male à l'élément ds' du contour. Nous aurons
r d<^' C ' T ' 1 ' C ,dxi'Q, .
f a (jr —^ «a- = / a ce (jo as — / cp aa ,
fb'G^d.'^ fb'&'Go'ds'- fo'^d..
J dt] J ^ ' J ' dn
On obtient donc l'équation
— ■;>, TTcp = I (a'a' -{- b' P')G(fi' ds'
266 PRKftUÈRE PARTIE. — CHAPITRE X.
Or, G s'annule snr le contour ; il reste donc simplement
-2 TCO = / ( C G — TZ ■ C2 rtff + I f G d<7 .
C'est bien une équation de Fredliolm, dont le noyau est
da Qf db' G
d% dfx
Reste à voir toutefois si ce noyau remplit bien les conditions nécessaires pour que la méthode soit applicable.
Le noyau devient infini pour MP = o; il s'agit donc de voir de quel ordre est cet infiniment grand.
Or, G est de l'ordre de log -ttô', il devient bien infini pour MP = o, mais d'un ordre infiniment petit, car log -rjr^ croît moins rapidement cjue TTp^ ' quelque petit que soit s. Quant aux dérivées, elles croissent avec la rapidité de jrjp*
Par conséquent, le noyau devient infini d'ordre un, et, comme l'intégrale est double, la méthode de Fredholm peut s'appliquer.
159. Cas d'un bassin limité par des parois verticales. — On sait que le problème des marées se pose d'ordinaire autrement.
Si nous supposons d'abord le cas d'une mer terminée par une falaise verticale, nous n'aurons pas h = o, même sur les bords. En ne tenant pas compte de la force centrifuge composée, nous devrions avoir alors
dix
Mais, la rotation intervenant, la condition aux limites sera une
T . do do
relation entre -— el -r-' an ds
En général, la condition sur le contour sera donc
du ds '
/-i , r • ^ , ^ / r^ 2 W COS 6
L< étant une lonclion donnée de 5 ( L- == —
Au lieu de la fonction de Green ordinaire, nous formerons alors
PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 267
la fonction généralisée correspondante, définie par la condition
aux limites
dG ^ dG dn ds
La fonction o satisfaisant au problème sera encore définie par l'équation
■ — in'S) ^= j F'Gdu'.
En effet, nous aurions, comme précédemment,
Aç = F.
De plus, sur le contour, on a, en différentiant sous le signe / 5
2'-/'^ + C^W Cf'I— ^C—\dG'=o
'\d/i ds j J \dn ds ) ' .
Les deux conditions sont donc bien remplies.
Nous traiterons alors l'équation qui doit donner cp de la même manière que dans le cas précédent; seulement, ici, le premier terme ne disparaîtra pas, et nous obtiendrons
— 'îTicp = / (d'à' -^ b' [i')G(^' ds'
r / da'G db'G\ , , , C ., r ^ < -^J ['"^--dc ^)-da-^JfGd..
En dehors de la fonction connue, nous avons dans le second membre la somme d'une intégrale simple et d'une intégrale double. Mais ceci n'empêche qu'on puisse arriver au résultat, et la méthode de Fredholm s'applique très bien aux équations de cette f orm e .
Le noyau {a' a] -\- b"p' ) G de l'intégrale simple devient infini comme un logarithme ; on a donc pour lui a = o, donc a <; i , et il n'y a, de ce fait, aucune difficulté.
Montrons seulement comment on calculera les termes du développement de D et de N. D'après ce que nous avons vu au § 145, il faut considérer le déterminant
/ Ml ^\, ... m, ^\ Ml M, ... M,
et intégrer par rapport à «ia-,, f/o-o, . . . , drjn.
•i68 PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE X.
Prenons quelques-uns des points à l'intérieur du contour, et les autres sur le contour lui-même. Si, pour fixer les idées, nous envisageons le cas où n r= 2, nous aurons à former notre inté-
grale avec
Ml M, •^^ Ml M2
Nous prendrons alors successivement les points M, et M2 :
D'abord tous deux à l'intérieur, ce qui, en intégrant par rapport à dii et c/to, nous donnera une intégrale quadruple;
Puis M, sur le contour et Mo à l'intérieur; de même M, à l'intérieur et Mo sur le contour; ce qui, dans chacun de ces cas, en intégrant sur le contour par ra|)port kds eik l'intérieur par rapport à ^T, nous fournira une intégrale triple ;
Enfin, les deux points sur le contour, d'où une intégrale double.
Le coefficient So du développement de D, par exemple, sera donc donné par la formule
r l Ml M, \ r ( Mj M, \
j-^ V ^^1 M.2 / j-^ V Ml M, y
-h I fi ' ' \d<yx cls.-,-^ l fi ^ ]dsxds^.
Pour II quelconque, l'élément général du déterminant qu'il faut intégrer est/(M;MA).
Si les points M/, My; sont tous deux à l'intérieur, il faudra prendre pour y le noyau de l'intégrale double dans l'équation qui doit déterminer es. Si les deux points sont sur le contour, on prendra pour /"le noyau de l'intégrale simple. Enfin, si l'un des points est à l'intérieur et l'autre sur le contour, c'est le second point qui déterminera le choix du noyau.
La méthode de Fredholm s'applique en somme sans beaucoup de changements ; les séries obtenues sont très convergentes, mais le calcul des termes est fort long.
160. L'application de la méthode de Fredholm à une équation intégrale comprenant à la fois une intégrale simple et une intégrale double peut s'exposer d'une manière difierente.
PROcÉnÉs d'im'égration dks équations du problème des marées. 269 Une telle équation est de la forme
o{M)^J^(P)f,{M,P)ds'^l^o(P)/,(M,P)d^'-^<!^
co (M) est une fonction inconnue des coordonnées x, y du point M;
ce (P) est la même fonction des coordonnées ^, r^ du point P 5
y, et f^ sont des fonctions données des coordonnées de ces deux points.
Nous avons un contour limitant une certaine aire : ds' est un élément d'arc du contour et cIt' un élément de surface de l'aire limitée {Jig- ^a).
Dans la première intégrale de l'équation, P est le centre de gravité de l'élément ds' ] dans la seconde, P est le centre de gra-
Fia;. 33.
vite de l'élément d's' .
Soit A l'aire considérée. Par les différents points du contour, menons les|^normales extérieures à ce contour : elles décriront une aire complémentaire B extérieure à A.
Les normales aux extrémités de l'élément ds' découperont sur le contour de B un élément d'arc r/S'.
Prenons un point M ou P dans B, et abaissons les normales MM', PP' sur lejcontour de A {fig. 33).
ajO PREMIEUE PARTIE. — CHAPITRE X.
La fonction/", (M, P) est définie quand le point P se trouve sur le contour et le point M, soit à l'intérieur, soit sur le contour luimêmei; la fonction /2 (M, P) est définie cjuand P est à l'intérieur de l'aire A. et M à l'intérieur ou sur le contour.
Nous pouvons remplacer notre éc[uation où figurent deux intégrales par une équation ne contenant qu'une intégrale unique, soit
cp(M)=yo(P)/(M,P)^a'-h.];(M),
en étendant cette intégrale à l'aire totale An- B. Mais il faut alors définir la fonctiony". Par définition, si M et P sont tous deux à l'intérieur de l'aire A,
on prendra
Si M est dans l'aire B et P dans l'aire A,
Si M est dans l'aire A et P dans l'aire B,
Si M et P sont tous deux dans l'aire B, /=/,(M',F)^-
Il est clair alors que l'intégrale unique sera la somme des deux intégrales, l'une simple, l'autre double, qui figurent dans l'équation donnée.
Quant à la fonction cp, si M ou P se trouve dans l'aire B, on
aura, par définition,
cp(M) = cp(M'),
(p(P) = cp(P').
On est donc conduit par cet artifice d'exposition aux mêmes résultats que précédemment.
