VA
dqk
On déterminera les paramètres constants c/ à l'aide de ces équations ; c'est un pur problème de Statique.
2" Marées statiques de la deuxième sorte. Hq dépend seulement des qai
dqb
Si nous prenons les équations différentielles relatives k k=^b, nous aurons, puisque ()(, = o,
yaibqt sera nul, puisque c est
Alors, les équations s'intègrent immédiatement et donnent
Chaque constante M^, est ce qu'on peut appeler un moment du système.
Un second cas remarquable est celui où tous ces moments M^ sont nuls.
Ainsi donc, nous aurons deux sortes remarquables de marées statiques :
4o PRIiMiÈRE PARTIE. — CHAPITRE I.
Celles de la première sorte, correspondant à ^'^ = o : toutes les vitesses sont nulles, pas de courants à l'intérieur;
Celles de la deuxième sorte, correspondant à M^ ^ o : ce sont les moments qui sont nuls, il J a des courants constants à l'intérieur.
24. Il y a deux cas où ces deux sortes de marées statiques se confondent :
1° Si l'équation en À des oscillations propres n'a pas de racine nulle. En effet, dans ce cas, il n'existe pas de qi, et la question ne se pose pas; nous savons qu'un polynôme du premier degré ne peut être solution du problème.
2" Si l'équilibre est absolu. On a alors (§ 8) a^^. =: o.
Les équations M^ ^^ o qui donnent les marées statiques de la deuxième sorte deviennent simplement
et, comme les q^ sont toujours nuls, ces équations sont des relations linéaires entre les q\. Nous aurons autant de relations distinctes que de q\. Par suite, ces q\ sont tous nuls, et l'on retrouve les marées statiques de la première sorte.
Au contraire, dans le cas des axes tournants, qui est celui de la nature, les deux sortes de marées sont à distinguer. En effet, supposons qu'il n'y ait pas de courants internes, q\ = o, la surface tendra vers une position d'équilibre correspondant à l'action des forces extérieures.
Mais, s'il y a des courants internes, une force nouvelle s'introduira outre les forces extérieures : c'est la force de Coriolis, laquelle est perpendiculaire à la direction des courants, et dont l'action altérera la surface d'équilibre.
Nous verrons plus tard l'importance de cette distinction.
2o. Oscillations contraintes d'un système à deux groupes de paramètres. — Nous avons alors qi-= zie^\ À étant ici une constante qui définit la période de la force perturbatrice. Mais, dans l'hypothèse d'un système constitué de telle sorte que Ho ne dé-
OSCILLATIONS D'uN SYSTÈME MÉCANIQUE. 4l
pende pas des paramètres ^i, on a Q^ ^ o et l'équation des moments subsiste,
2 ^^^"il'^ïi-^ a'ibqi) = Mft.
Seulement, eomme dans le cas des marées statiques de la deuxième sorte, les moments M^ seront forcément nuls; en effet, ils doivent être à la fois constants et proportionnels à e'-' comme les q et les q' .
Alors, une première question se pose. Supposons qu'il s'agisse d'une marée à très longue période : \ sera alors très petit, et nous aurons une marée que nous pourrons traiter comme une marée statique. Mais comme une marée staticpie de quelle sorte? D'après ce que nous venons de dire, quel que soit )., ]M(!,r=o; lorsque A tendra vers zéro, M^ restera nul et, par conséquent, les ^/ tendront, non vers les valeurs de la première sorte, mais vers les valeurs qui correspondent à une marée statique de la deuxième sorte.
Supposons maintenant le cas général, où A n'est pas très petit. £/, comme nous l'avons vu au paragraphe 10, est une fonction rationnelle de À qui peut se décomposer en éléments simples de la
forme c ^i les X; étant les racines de l'équation caractéristique
A - kj
des oscillations propres.
Si cette équation a des racines nulles, aurons-nous des termes
en r- et — ? Pour nous en rendre compte, supposons £/ développé
suivant les puissances croissantes de À,
et remplaçons e/ par cette valeur dans nos équations différentielles
Nous aurons, en ne conservant que les termes de degré — 2, — i et o en A,
et, par suite, en égalant les coefficients de ces termes dans les deux membres des équations différentielles,
F/.-(a/) = O5 termes en x—,
F/-(oi.it -h ^i) =0, » en Y'
F/,. ( — i- (ji^ -(- Yi ) = K^, )■> de degré o en X.
On reconnaît les trois équations que nous avons déjà rencontrées en étudiant les marées statiques (§ 22). Nous en conclurons de même qu'on a
Donc, dans s/, pas de terme en y^ et a fortiori pas de terme en r-, etc.
Mais nous pourrons avoir un terme en y parce que, si les [j^ sont
nuls, les [iiô peuvent être différents de zéro. Seulement ces termes ne figureront que dans l'expression des qb\ les cja-, qui seuls nous intéressent, n'en auront pas.
26. Influence du frottement. — Cette influence est extrêmement faible; nous verrons qu'elle est presque négligeable, sauf le cas des canaux étroits et si la période est très longue. Elle se manifeste de plusieurs manières.
D'abord, si nous considérons les \j correspondant aux oscillations propres, ils ne seront plus purement imaginaires, mais auront une partie réelle qui sera toujours négative parce que l'énergie ira en décroissant. Les racines de l'équation en \ seront bien encore imaginaires conjuguées deux à deux, mais elles ne seront plus deux à deux égales et de signes contraires. Voilà un premier point.
En voici la conséquence : Considérons les oscillations contraintes ; nous avons y/ = s^e^^, qui est une solution particulière, mais la solution générale des équations avec second membre est
qi=tiè^^t^y Ay a/y e^'^ .
OSCILLATIONS d'uN SYSTEME MÉCANIQUE. 43
Les Ay dépendent des conditions initiales. Dans le cas des marées, il est évident que ces termes ont dû disparaître. En effet, Xy ayant sa partie réelle négative, é^i^ va constamment en décroissant et, depuis que les marées existent, le mouvement dû aux oscillations propres doit être considéré coinme complètement éteint : il reste donc seulement Toscillation contrainte proprement dite.
En second lieu, le frottement produit une diminution d'amplitude très légère et aussi un léger décalage.
Nous avons de plus une résonance moins parfaite. En effet, nous avions
et le phénomène de résonance était dû à ce que, pour). = Ay, un des termes devenait infini et, pour ainsi dire, écrasait les autres. Avec le frottement, une résonance aiissi parfaite ne sera plus possible. En effet, A est purement imaginaire, car les forces perturbatrices sont essentiellement périodiques; Xy, au contraire, a une partie réelle négative. Donc À — \j ne s'annulera jamais.
Cependant, en pratique, la différence n'est pas très grande, car la partie réelle de Ay est toujours extrêmement petite en valeur absolue; il en résulte que À — Ày pouria devenir extrêmement faible, et que nous aurons une résonance presque parfaite.
Enfin, l'existence du frottement nous oblige à modifier les conclusions auxquelles nous étions parvenus en ce qui concerne les marées statiques. Pour le montrer, prenons un exemple simple. Supposons
H= ^ hw{xy—yx)——;
X et y représentent ici nos paramètres ^, et Ho ne dépend pas dey. Nous devrons donc faire Q^ = o, et les équations de Lagrange relatives à notre système seront
x" — 2a)j''-l-a7 = Ce'-', y" -f- 210.17' =0.
Mais, pour tenir compte du frottement, nous ajouterons les termes — or', — pj)/' à chacun des premiers membres, et nous
44 PUEMIÈRE PARTIE. — ClIAPITUE I.
aurons ainsi
x" — 2 wjk' -^ X — ox' = C e^', y"-\-'n.ox' — p/' = o.
Pour résoudre ces équations, posons
X = Ae^'^, y = Be>'.
Il viendra
A(X'-— pÀ + i) — 2coBX = C,
atoAX + B(X2— pX) = o, d'où l'on lire
2 OJ A X
XB
Imaginons que la période de la force perturbatrice soit très longue, et faisons tendre À vers zéro. La limite de XB ne sera pas la même selon qu'il j aura ou qu'il n'y aura pas de frottement. S'il n'y a pas frottement,
p = o, limite X B := — 'iwA.
S'il y a frottement,
p > o, limite X B = o.
Prenons d'abord le cas où p = o. La première équation nous donne alors à la limite
A + 4WÎA = C, d'où
a: sera constant, et nous aurons une marée statique.
Je dis que ce sera une marée statique de la deuxième sorte. Pour le montrer, il suffit de faire voir que y ne se réduit pas à une constante. En effet, nous avons, à une constante près,
Nil f ^ y 20) Â ous pouvons prendre la constante égale a r — ; ce qui
OSCILLATIONS d'un SVSTÈMK MECANIQUE. ^5
expression qui tend vers — acoA;^ lorsque A tend vers zéro. Donc, marée statique de la deuxième sorte.
Considérons maintenant le cas où il j a frottement : p > o. On a alors simplement A ^ C ; >' ^ const. Donc, marée statique de la première sorte.
Ainsi, lorsque la période tend vers rinfini, la limite de la marée n'est pas la même selon qu'il y a ou non frottement. S'il y a frottement, si petit qu'il soit, la limite est la marée statique de la première sorte; s'il n'y a pas de frottement, la limite est la marée statique de la deuxième sorte.
Laplace et ses successeurs ont envisagé simplement le phénomène statique delà première sorte. Depuis, M. Hough, astronome à l'Observatoire du Cap, dont nous analyserons plus loin d'importants travaux, a introduit cette distinction et a conclu, dans le cas de la nature, à une marée statique de la deuxième sorte. Cette conclusion doit-elle subsister?
Assurément, il y a frottement. Seulement, ce frottement est extrêmement petit. Si donc X tend vers zéro de manière à donner des périodes de plus en plus longues, la période pourra devenir très longue tout en restant encore petite par rapport à la durée qui serait nécessaire pour que l'influence du frottement fût sensible : dans ce cas, la marée se rapprochera de la marée statique de la deuxième sorte. Mais, la période continuant à augmenter, il arrivera un moment où À sera petit par rapport à p ; la période devra alors être considérée comme grande par rapport au temps d'influence sensible du frottement, et l'on aura une marée statique de la première sorte.
Toute la question est donc de savoir alors si les marées à longue période qu'il y a lieu de considérer (c'est-à-dire celles dont les périodes sont de i5 jours, de r mois ou de 6 mois) ont des périodes petites ou grandes par rapport au temps d'influence du frottement, A cette question, M. Hough répond que les périodes sont petites, et que, par suite, on aura des marées statiques de la deuxième sorte.
C'est un point sur lequel nous reviendrons.
