AU

•282 PREMIERE PAUÏIE. — CHAPITRE X.

et, de même,

AV = o.

Voyons maintenant à quelles conditions satisfont U et V sur le contoui\ Calculons, par exemple, (j.u -\- ^c. On a, d'après (11) et (i3),

— 2 - ( a if -+- jj t' )

= A>'(aG+ pG')r/a'+ /cï>;(aG,+ (3G'i ) rt'a'-f- aU + ^V = o.

Or, on a sur le contour, d'après la définition de G et G',

aG+pG'^y ki^i.

$' ne dépend que de \ ç.\,i\\ par conséquent, la première intégrale, qui est prise par rapport à ^ et ■/], sera aussi une combinaison linéaire des fonctions 'h de x et j^.

Il en est de même de la seconde intégrale,

Par conséquent, on aura sur le contour une condition de la forme

On montrerait de même que l'on doit avoir aussi

D(U,V)=y Avcf,.

Les fonctions U et V satisfont donc dans l'aire à l'équation de Laplace et sur le contour à ces conditions aux limites.

Or, nous avons vu qu'il n'existe pas de fonctions satisfaisant à ces conditions, à moins cjue les k ne soient tous nuls. De plus, ainsi c[ue nous le verrons plus loin, dans le cas que nous envisageons, il n'en existe pas qui satisfassent à

On a donc nécessairement

PROCÉDÉS d'iNTKGRVTIOX DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 283

Il en résulte que

— 2 t: « = / *' G ch' -\- j *'i Gi d-j' .

Il suffira d'intégrer par parties, comme nous l'avons déjà fait au paragraphe 158, pour mettre ces équations intégrales sous forme d'équations de Fredholm, qui nous fourniront a et v. On aura ensuite ^ par l'équation (i).

169. Tout revient donc, en somme, à la résolution du problème préliminaire posé au paragraphe 166 :

Construire deux fonctions u et v satisfaisant à l'équation de Laplace

A» = Ac = o à l'intérieur de l'aire, et aux conditions

D(«, c^)= "Sl^y kiQi,

sur le contour.

Nous poserons pour cela

d? dx

dy ces deux fonctions P etQ étant telles que, à l'intérieur du contour,

AP = AO = G. Puisque

dx ^ dy dix

les conditions aux limites deviennent alors

dn ^H<^-^^ +^/"rM d^ ^ dQ

dx dy ^mÀ

Cette dernière condition ne renferme plus de termes en P.

Nous commencerons donc par déterminer la fonction O. Il nous est permis de supposer que le contour de l'aire est une circonférence. En effet, nous savons que, dans le cas d'un contour quelconque, il suffit de déterminer la fonction de Green ordinaire, G(M, P), relative à un seul point M, pour pouvoir faire de l'aire une représentai ion conforme sur un cercle, nos équations des marées conservant la même forme essentielle.

Posons donc

a; -1- ijK = -3, X — f JK = z' .

dq dq dq

dx dz dz'

dq .(dq dq

Nous aurons

dy \ dz dz' La condition sur le contour s'écrit alors