AQ

dz dz'

et l'équation devient

Il en résulte que

O- dépendant seulement de z et Q^ seulement de z' .

JLorsque le contour coupe la latitude critique, un des coefficients de l'équation aux limites s'annule : ce sera i + ïQ lorsque le contour coupe le parallèle critique défini par ù^i et i — iQ. lorsqu'il coupe l'autre.

Par hypothèse, le contour coupe la latitude critique; nous pourrons donc poser

i + iQ = {z — a){z — b)...Y{ = Y\.P{z),

H ne s'annulant pas sur le contour, et reprenant la même valeur quand on a fait le tour du cercle.

Sur la circonférence du cercle, le rayon étant pris pour unité,

on a

logH, ainsi que toute fonction périodique de es, pourra se développer en série de Foui^ier suivant les puissances positives ou négatives de e''-? : il y aura des termes contenant z"'^ et d'autres contenant z~"^, c'est-à-dire z''"-.

Par conséquent, nous pouvons écrire

logH = F1+F2,

F) ne renfermant que des puissances positives de z et Fo des

puissances positives de z'.

D'où

i-hin = P(z)eFi+f., et de même

I — iO = P'(s')efi+fi.

P(:;) et P'(s') sont des polynômes entiers en ^ et ^'; F| et F'^ des séries procédant suivant les puissances positives de z, Fo et F^ des séries procédant suivant les puissances positives de z'.

Il y a cependant une petite difficulté. H est bien une fonction périodique de es, mais, lorsqu'on a fait plusieurs fois le tour du cercle, logH peut augmenter de 2 mi-. Gomme il en est de même de log;3, nous poserons alors

logH := F,-f- F,-F-nlog3, d'où

et ;" passera dans P(^). Les formules restent donc vraies. Nous avons donc, pour la condition sur le contour,

dz dz

En multipliant par e""^-""^', il vient

dz dz

Le second membre est une fonction périodique de es; on peut donc écrire

0, étant une série développée suivant les puissances positives de z et ©2 i^ne série développée suivant les puissances positives de z' . Cette identité entre les sommes de deux séries peut se séparer en deux équations qui donneront séparément Q, et Qo :

az

Toutefois, il y a des conditions à remplir. Ainsi, le premier membre de la première équation s'annule pour tous les zéros de P(z); il doit donc en être de même de 0, + K.

Or, nous disposons d'un certain nombre de constantes arbitraires : d'une part K, d'autre part les Ai qui figurent dans M, ; nous pourrons les déterminer de manière à satisfaire aux conditions.

Le nombre de celles-ci est le nombre n des points d'intersection du contour avec les deux latitudes critiques; par conséquent, les kl devront être au nombre de n — i .

Le problème comporte alors une solution unique, de sorte qu'ainsi que nous l'avons dit plus haut, on ne peut avoir

aU^|3V = o, D(U,V) = o ■ sans avoir

Si, au contraire, le contour ne rencontrait pas les latitudes critiques, il resterait une constante arliitraire K.

dP Ayant obtenu Qi et Qo, et par suite Q, nous aurons -r- par

la relation

Nous sommes ainsi ramenés, pour trouver P, à un problème connu (§ lo:2).

On sait que P de\ra satisfaire à la condition

dP ,

— — as = o ;

dn

mais, Q n'étant déterminé qu'à une constante près, on en disposera pour y satisfaire.

Nous |3ou\ons donc, par cette méthode, résoudre le problème des marées dans le cas très général d'un bassin limité par un contour quelconque, à condition toutefois de négliger II", et dans l'hypothèse que les parois soient verticales.

Nous allons exposer maintenant une autre méthode qui permet d'éviter plus simplement la difficulté provenant des latitudes critiques, et présente en outre l'avantage de s'appliquer au cas des parois inclinées.

170. Cas général : Bassin à parois inclinées et limité par un contour quelconque. — Considérons réc[uation

dans laquelle Lu représente une combinaison linéaire de A m, -j-, -j— et «, dont les coefficients sont, ainsi que /, des fonctions

connues de a: ety.

Supposons, en outre, que nous nous donnions sur le contour des conditions quelconques.

La solution pourra se mettre sous la forme

u = jfGix^j, î, 'r])d<y',

G étant une fonction de Green généralisée. Quant à /"', c'est ce

que devient la fonction /"quand on v remplace les variables JC et y

par ç, r, ; et

c/a' = û?; dr^ .

Tout le problème est ramené à la détermination de la fonction G.

Posons

Lu = Lq J/ -t- ÀLi H,

L, u ne contenant pas de terme en lu, mais seulement u et ses dérivées du premier ordre. Le coefficient de lu ne dépend donc pas du paramètre arbitraire X.

Je dis d'abord que si l'on sait former la fonction de Green corresjiondant à Lo?^, c'est-à-dire pour A = o, on saura la former également pour toutes les valeurs de X.

En effet, nous pouvons écrire

Soit alors Go la fonction de Green relative àLo ; nous aurons

iJv.G.d^'^ ff Go ch',

L'i étant ce que devient L, quand on j remplace x,y et w par ç, rj,

et u'.

La fonction sous le signe / dans le coefficient de A est de la

forme

du' du

A, B, C étant des fonctions connues de x, y, i, Tj.

En intégrant par parties, comme au paragraphe 158, on fera

,. ^ , du' du' , m • 1 -

disparaître les termes en -^ » —r- et le coeiiicient de A se trouvera

ainsi ramené à la forme qu'il a dans une équation de Fredholm.

Ainsi, la méthode de Fredholm nous permettra de trouver G pour une valeur quelconque de \.

C'est en somme ce cjue nous avons fait jusqu'à présent, en prenant simplement

]jQ U =^ àu,

et l'on ne rencontrait pas alors de difficultés tant que les coefficients de L, a ne devenaient pas infinis.