Mais, si nous supposons, par exemple

LqU = k^-h\u,

nous pourrons rencontrer une difficulté, de ce fait que k- h sera susceptible de s'annuler sur le contour si les parois sont inclinées. Dans ce cas, en effet, la fonction de Green pourra devenir infinie d'un ordre trop élevé pour que la méthode de Fredholm soit applicable.

G désignant la fonction de Green ordinaire, qui s'annule sur le contour, on aura

PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 289

k' et h' étant ce que deviennent respectivement k et h quand on y remplace x ely par ç et t;.

G et h' s'annulant tous deux sur le bord, Go restera fini sur le bord.

Pour voir comment Gq se comporte dans le voisinage du bord, représentons le contour ainsi que les points M et P.

Si un seul de ces points {/ig'. 34) est très voisin du bord, la fonction de Green reste finie, aucune difficulté ne se présente.

Si les deux points sont très voisins et très voisins du bord, tout se passera comme si l'arc du contour voisin était remplacé par une droite; l'expression de la fonction de Green est alors

M' représentant le symétrique de M; d'où

y étant une quantité de l'ordre de MP.

Quelles que soient les positions respectives des trois points M,

M', P, cette expression est toujours inférieure à xtt-.j k étant fini. ' ^ MP

Par conséquent, G,, pourra devenir infiniment grand, mais au plus

d'ordre i ; ce qui n'ollre aucun inconvénient puisque nous avons

affaire à une intégrale double, à condition que L, u ne renferme

que u et pas ses dérivées.

Mais, si nous avons dans L, ii des termes en -7- et -r-, l'intéara- ' ax dy ^

tion par parties introduira les dérivées —77^ et —r-^, et nous nous

trouverons dans des conditions où la méthode de Fredholm n'est pkis directement applicable. En effet. Go est homogène et de degré — i par rapport à.j', M'P et MP; par la différentiation, nous obtiendrons une expression homogène et de degré — 2 et, P. - III. 10

290 PRIi:aiIERE PARTIE. — CHAPITRE X.

l'intégi^ale étant double, la réilératioii ne saurait nous fournir un iiojau qui reste fini.

Il y a donc là une difficulté très importante.

172. On peut en triompher néanmoins en changeant le chemin d'intégration.

Supposons d'abord une seule variable .r, avec sa correspondante ^; L^^ est alors une expression dilTérentielle linéaire ordinaire et non plus une expression aux dérivées partielles.

Nous aurons comme chemin d'intégration un certain segment rectiligne ab] la fonction u est supposée définie pour toutes les valeurs comprises entre a et 6, et doit satisfaire en ces deux points (Jig. 35) à certaines conditions aux limites.

Fia". 35.

Prenons, par exemple, cette condition simple que u doit s'annuler en a et b. Nous pourrons déformer légèrement le chemin d'intégration et prendre un chemin curviligne imaginaire : nous obtiendrons ainsi la continuation analytique de la fonction précédente.

Si donc une difficulté provient de ce que le coefficient de L^ii devient infini en un certain point c de «6, nous nous en affranchirons en prenant le chemin curviligne.

On peut, ce C[ui revient au même, suivre le chemin rectiligne de part et d'autre de c, et contourner ce point par un petit détour.

Le cas est déjà plus compliqué si la difficulté se présente aux

d^ u deux extrémif.és. Supposons, par exemple, que le coefficient de -i—,

dans Lo s'annule en a et 6, chacun de ces deux points étant un pôle siznple, c'est-à-dire que le coefficient sera divisible par (x — a) (x — b) et non par (a? — a)- ni par (x — b)-. Parmi les solutions de l'équation différentielle, il en est une qui restera finie aux deux extrémités, et c'est celle-là que nous adopterons comme satisfaisant aux conditions aux limites. En remplaçant ces con-

ditions par d'autres équivalentes, on pouri^a éviter la difficulté par un artifice analogue au précédent.

Suivons le chemin rectiligne de a à 3 et complétons-le par une boucle autour de chaque extrémité. Nous nous imposerons ces conditions qu'en franchissant le point a par-dessus, la fonction a reste continue ainsi que sa dérivée première, puis reprenne la même valeur quand on revient en a. De même à l'autre extrémité { fi^. 36).

Fis. 3G.

Nous assujettissons donc la fonction à se comporter comme une fonction uniforme; toutefois ce que nous écrivons, c'est que la fonction u reprend la même valeur quand on va de a en a en suivant la boucle particidière que nous avons choisie; nous ne préjugeons rien sur ce Cjui se passerait avec une boucle différente; cependant la condition sera vQ.\Xi^y\e. par surcroît pour une boucle quelconque, et aussi pour les dérivées de a si, comme nous le supposons, il existe une intégrale régulière. La condition de se comporter comme une intégrale régulière est équivalente à celle de rester finie aux extrémités, car, s'il existe une intégrale régulière, ce sera celle-là qui restera à la fois finie et uniforme.

Nous nous trouvons ainsi afl'ranchis de la difficulté.

173. Les mêmes procédés peuvent s'étendre au cas de deux variables. Le champ d'intégration est ici une aire plane limitée par un certain contour; nous le modifierons en intégrant le long d'une aire courbe dans l'espace.

De nos deux variables x et y^ nous supposerons que x reste réelle ; y^ au contraire, sera considérée comme imaginaire et deviendra y -i- iz. Le point dont les coordonnées dans l'espace sontx, j', :; représentera l'ensemble de nos deux variables d'intégration.

Une première difficulté peut se présenter : c'est que, le long de certaines latitudes critiques, nous avons un coefficient infini. Alors nous modifierons un peu notre champ d'intégration, nous passerons au-dessus de ces lignes critiques en ne restant pas dans le plan des xy [fig- 37).

Une autre difficulté provient de ce que la profondeur est nulle sur les bords lorsque les parois ne sont pas verticales.

Dans ce cas, nous intégrerons à l'intérieur du contour avec deux variables réelles (région couverte de hachures) et nous contournerons le bord en suivant la surface engendrée par les boucles figurées sur la section suivant AB.

Nous obtiendrons ainsi des intégrales imaginaires, qu'il est aisé de ramener à des quadratures réelles.

Gomme condition aux limites, nous assujettirons la fonction u à reprendre la même valeur quand on revient dans le plan des xy après avoir tourné autour du bord.

En procédant ainsi, nous pourrons éviter toute difficulté.

Il suffit que Lo?f soit constitué de telle sorte qu'on puisse s'en servir pour définir Go, c'est-à-dire que Lq^^ comporte une seule solution qui reste uniforme lorsqu'on fait le tour de la périphérie.

Fig. 37.

On pourrait songer à prendre

Lo u — - k- Il A»,

mais dans ce cas, précisément, celte condition ne serait pas remplie. On s'en rend compte aisément en considérant le cas d'une seule variable. Soit, par exemple,

Lo« = '< h —, — • dx-

PROCÉDÉS d'intégration DES EQUATIONS DU PROBLEME DES MAREES. îgS

S'il existe une solution uniforme

il y en aura aussi une infinité d'autres, de la forme

c et C) étant deux constantes d'intégration. Il faudra prendre alors, par exemple,

Lq II = k' h S.IC -\- u,

et cette difficulté ne se présentera plus.

Seulement, il faut pouvoir intégrer et trouver Go dans ce nouveau cas.

Or, nous avons vu que, même lorsque le coefficient k'-h s'annule aux bords, la méthode générale s'applique encore à condition que L,

, , du du

ne contienne ciue des termes en u et pas de termes en-r— > -7— •

>■ ' dx dy

Comme nous savons intégrer pour k'-h ^a^ nous saurons donc

intégrer aussi pour

A -A S.U -^ ou^

t5 étant une fonction de x ety.

Go sera donc facile à former.

Je renverrai, pour plus de détails à mon Ouvrage, Gottinger Vort.ràge (Leipzig, Teubner, 1909).

174. Manière de tenir compte de l'attraction du bourrelet. — Jusqu'ici, nous avons négligé II"; il nous reste à montrer comment on pourrait en tenir compte.

Nous avons d'abord une première équation

puis une seconde

^= ^(X-^?-n"-Wj,

W étant une fonction connue, l^osons

L = Lo+L„

en prenant égal à l'unité le paramètre \ des paragraphes précédents.

Par hypothèse, nous connaissons la fonction Gq relati^ e à Lg ? nous avons alors

et nous en déduisons

Lo9 = C — Lio,

î^' est ce que devient Ç quand on y remplace x et j' par \ et t\ ; o' ce que devient cp quand on fait la même substitution; L'^ enfin ce que devient L, quand on y remplace x^y et cp par ç, r, et ç'. La deuxième équation s'écrit

Nous savons, en effet, que II" est le potentiel dû à l'attraction d'une couche superficielle de densité — ^ (§ 28).

d<i' représente un élément de la surface de la sphère, mais évalué sur la cafte : sur la sphère même, cet élément est

donc -YT-

^' est la valeur de u au point de coordonnées ^, Tj. ( hiant à r, c'est la distance du point.z", j^ au pointe, '/], mais évaluée <r/<f//z5 r espace, et non sur la carte.

Lorsc[u'on aura intégré par parties pour faire disparaître les

do' do' . p 1 T ' I ■ •

termes en -7- et —r- qui tiourent dans L, avec o , nos équations f/^ <r/rj i ^ 1 i ' 1

en o et ç se présenteront sous la forme d'équations de Fredholm, mais à deux fonctions inconnues. M. Fredholm a montré que ce cas se ramenait immédiatement à celui d'une équation ordinaire.

Pour le faire voir, considérons seulement le cas, d'une variable unic|ue. Soient deux équations de Fredholm entre deux fonctions inconnues o, et c2o

o,{x) = fo^a)'^^{x, i) d':^ ^ I o,a)\^,{x ,1) dl -^ 'h,{x), o,(x) = fo,(:ç)K,ix, l)di -^Jo.a) K,{x, t) d\ + 'i;2(^),

les intégrations étant elTectuées entre les limites o et u

l'tlOCÉDES D INTÉGRATION DES ÉQUATIONS DU PROBLEME DES MAREES. 1q5

Ces équations peuvent se ramener à une seule,

oix)^J'^(i)K(x, Of^?-^'K^);

seulement, ici, jc et ç varieront entre o et 2. Nous poserons

Pour o<a7<i, <f(cc) = 'jii(x), 'b{x) = ^biix),

Pour a' > I , 'i(x)^(22(x — i), <b{x) ^= 'b-,(^ — i)î

et pour définir les noyaux

K = K.Jx, l-

La réduction est alors immédiate.

On peut faire de même s'il s'agit d'intégrales doubles, il suffirait de doubler Faire d'intégration par une autre aire égale placée à côté, de mèine qu'on a précédemment doublé le segment.

i7o. Examen critique de la méthode de Fredholm. — Nous ne pousserons pas plus loin l'exposé de la méthode de Fredholm; mais, avant d'abandonner ce sujet, nous nous demanderons ce qu'on peut en attendre pour la résolution du problème des marées.

Théoriquement, la méthode donne la solution du problème : les séries qu'elle fournit convergent avec une très grande rapidité. A ce point de vue, rien à désirer.

Seulement, le calcul de chaque terme est loin d'être simple. Certainement, ou pourrait le simplifier. C'est ainsi qu'il n'est pas indispensable de toujours procéder par étapes comme nous l'avons f;iit. La détermination de chaque fonction de Green exige la résolution d'une équation de Fredliolm et, la plupart du temps, on peut abréger beaucoup les calculs en faisant tout à la fois.

De plus, on pourrait se dispenser d'intégrer le déterminant dont r<dément général est /"(^J,■, M/,); il suffirait de savoir former la série des noyaux réitérés pour obtenir aiséuient la série en À.

Néanmoins, en dépit de toutes les simplifications possibles, le

■igG PREMIÈRE PARTIE. — CHAPITRE X.

calcul restera très long. Il faudra nécessairement introduire la profondeur de la mer et la représenter par une fonction : d'où une complication extrême, qu'on n'éviterait qu'imparfaitement en adoptant même une loi schématique grossière.

Dans ces conditions, il est permis de se demander si le travail considérable exigé serait en rapport avec un résultat forcément douteux.

Mais ce n'est pas tout encore. Pour juger delà valeur d'une méthode d'intégration nouvelle, M. Hermite avait coutume de poser cette question : Pourriez-vous retrouver par ce procédé les cas particuliers d'intégration déjà connus?

Jusqu'ici, la méthode de Fredholm ne répond qu'imparfaitement à ce critérium. Il faudrait travailler encore beaucoup pour la mettre entièrement au point.

Toutefois, ceci ne serait pas une raison suffisante pour s'en passer. D'abord, il n'en existe pas d'autre. Ensuite, on peut espérer en obtenir la démonstration rigoureuse de certains théorèmes utiles.

Supposons, par exemple, deux bassins océaniques communiquant par un détroit. Si le premier de ces bassins se trouve isolément en résonance avec un des termes du potentiel, on peut admettre que les marées y sont commandées par cette résonance, tout comme si le second bassin n'existait pas.

Mais ce n'est là qu'une intuition, et pour arriver à connaître, même approximativement, la période d'oscillation propre du bassin en question, on est obligé de négliger bien des choses. La métbode de Fredholm permettrait de contrôler cette intuition, elle pourrait montrer quelle doit être la limite de la perfection de la résonance pour que la conclusion soit légitime; en un mot, elle ferait voir quel est l'ordre de grandeur de l'erreur commise et c[uel est son sens.

De même, dans la comparaison de la théorie avec les observations, on est souvent amené à assimiler un bassin de forme plus ou moins compliquée à un canal sensiblement équivalent. C'est ainsi c[ue nous trouverons à la base de la théorie de Harris certains lemmes mi-intuitifs, mi-basés sur une théorie ou des observations grossières.

Ici encore, la méthode de Fredholm nous fournirait le moyen d'en vérifier la légitimité.

PROCÉDAS d'ivtÉGUATION DES ÉQUATIONS Ul PROBLÈME DES MARÉES. 297

Tel est l'appui qu'on peut actuellement espérer retirer de Tapplication de cette méthode au problème des marées.

Ces mêmes conclusions s'appliquent également à une autre méthode qui est encore à peine ébauchée et dont nous allons dire quelques mots, la méthode de M. Ritz.

176. Méthode de Ritz. — ■ La méthode de Ritz s'applique au cas où Ton a à déterminer une fonction par le calcul des variations. Supposons une certaine intégrale .1 définie par la relation

Lc2 dépend de la fonction inconnue 'i et de ses dérivées pre-

do do ■ , . ,. , . ,

mieres -~, -^ ; mais cen est pas une expression linéaire : c est un

polynôme du second degré, non homogène.

11 s'agit de chercher la fonction 'j, assujettie à certaines conditions aux limites, qui rende J minimum.

M. Ritz considère une série indéfinie de fonctions

Toutes ces fonctions sont assujetties à certaines conditions : En premier lieu, elles doivent satisfaire aux conditions aux limites auxquelles satisfait la fonction 'z.

Ensuite, il faut qu'une fonction quelconque F puisse être représentée par une série procédant suivant les fonctions 'J>, soit

Voici, à titre d'exemple, une application simple montrant comment les fonctions 'h peuvent être choisies. Supposons un contour quelconque

sur lequel la fonction cp est assujettie à s'annuler.

Inscrivons ce contour dans un carré ayant j)Our cotés {fig- 38)

298 PRIi.MiÈRE l'ARTIlî. — CHAPITRK X.

JNous prendrons

' cos a cos a

'}, renfermant Q en facteur, satisfait bien à la condition d'être

nui sur le contour.

p-ig. 38.

Considérons également une fonction quelconque F s'annulant

sur le contour; — restera fini. En général, la fonction F ne sera

définie c|u'à l'intérieur du contour. A. l'extérieur, nous pourrons la définir comme il nous conviendra, et prendre, par exemple,

— pourra se développer en série de Fourier, et nous aurons, par

suite, le développement de F en série procédant suivant les fonctions <ii.

Pour résoudre le problème tel qu'il l'a posé, M. Fiitz représente cpar la suite finie

Si l'on substitue dans la première équation, J deviendra un polynôme entier du second ordre en a,, ao, . . ., y.,/.

On peut disposer des indéterminées a pour rendre J minimum; il en résultera une valeur de es c|ue j'appelle 0,1.

M. Pvitz a démontré cjue'-s^/ converge vers une limite déterminée cjui n'est autre chose que la fonction o cherchée.

M. Ritz a appliqué sa méthode avec succès au problème de Dirichlet et à celui de l'élasticité.

On peut espérer que les artifices qu'il a employés, ou des artifices analogues, seraient également applicables au problème des marées, mais Je ne L'ai pas vérifié.

PROCÉDÉS d'intégration DES ÉQUATIONS DU PROBLÈME DES MARÉES. 299

Il faut auparavant montrer que les équations du problème des marées peuvent se ramener à celles d'un problème du calcul des variations.

J77. Réduction des équations des marées au calcul des variations. — Pteprenons l'équation générale du problème (§ 77)

2 cl dx

dx j ' d(x^y) kavec

hi = --; 1—, 77, J