A- -I- 4 W- COS-U
2 w cosO /;.,=: ^ Ai;
Ai et /^2 contenant h en facteur s'annulent sur les bords, à moins (jue les parois ne soient constituées par des falaises verticales.
En second lieu, li est essentiellement réel : il en est de même de li\ qui contient ),- en facteur; mais A^, qui renferme A, est essentiellement imaginaire, h', est négatif; A' est le rapport de similitude.
Nous avons, de plus, une seconde équation, qui lie "C à ',i,
W étant la fonction connue Qe'-^ correspondant au potentiel des
forces extérieures.
Pour mettre ces équations sous la forme cjue nous avons en
\ue, nous séparerons les parties réelles et les parties imaginaires.
Posons
ho = i-q,
r = ::, -hiu, n" = ir; -+- iti;,
W = \\\-^ tWo,
r, étant essentiellement réel.
Suhsiituons et égalons les parties réelles et les parties imagi-
OOO PREMIEIŒ PAUriE. — C1IAPITRI-: X.
naires; nous obtiendrons alors quatre équations
'^ (il '''^'\
dx \ ' dx j
dix, y)
d / j^ dxùy\ dx \ ' dx j
à(oi. rj dix, y)
Multiplions respectivement ces quatre équations par 8'^!, drr, ôcûoG^cT, 0(^1 c^o-, o^o<^iT, ajoutons et intégrons par rapport à a- sur toute l'aire considérée. JNous obtiendrons ainsi une intégrale
/ ^/c7(9i, '^-2, Çi, ^2, Scpi, ooo, S^i, ô!;,),
dépendant des fonctions c2,, c2o, ^,, vo et de leurs variations ocs,, ô'Jo, S<^i, S^2 ; cette intégrale devra être nulle.
Nous allons montrer qu'elle se réduit à la variation exacte oJ d'une intégrale J. Le problème reviendra donc à chercher le maximum ou le minimum de J.
Prenons, en effet, successivement chaque terme ou groupe de termes : nous obtiendrons autant de variations exactes.
Nous avons, en premier lieu, l'intégrale
qui donne, en intégrant par parties.
Le premier terme est une intégrale de ligne qui sera nulle, puisqu'elle est prise le long du bord où l'on a /<, = o.
La seconde intégrale est une intégrale de surface qui est égale à
dx
C'est donc bien une variation exacte. De même pour le terme analogue de la seconde équation.
PROCEDES D IXTEGIIATION DES EQUATIONS DU PROBLEME DES MARÉES. 3oi
Maintenant, considérons ensemble les termes provenant des déterminants fonctionnels ; ils donnent
J '^'r'^^d-A:'-dj^)-''^'-d:v[-^d^
d f do \\ ^ d
dx \ ' dy ) ' "'" dy \ ' dx
Transformons également en intégrant par parties. Chaque intégrale particulière donnera une intégrale de ligne étendue au contour et qui sera nulle puisqu'il j a partout 't\ en facteur, puis une intégrale de surface; il restera donc
di
doo^ do-i do'^i doi doo-y do^ doç,., d(fi dx dy dy dx dx dy dy dx
c'est-à-dire encore une variation exacte
0 / r. «a -^ j- -i- -— ^ = 0 / r, aa — — : ■
J \ dx dy dx dy j J d(x,y)
