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3o6 DEUXiÈaU': partie. — chapitre xi.
179. Nous savons (§ 29) que le potenliel peiturbateur P — Po des astres troublants, en un point déterminé de coordonnées h, 'i, peut être décomposé en composantes isochrones complexes
P — Po = S G e>>' ;
\ est essentiellement imaginaire et difï'ère peu de sito, s étant un nombre entier pouvant prendre les valeurs o, ± i, ±2. • C = Be"'T^, B étant uniquement fonction de la colatitude B et se trouvant proportionnel à
3 cos^O — I pour 5 = 0, sin 2 0 » 5 = rt I,
sin^O » 5 = di 2 ;
C est donc une fonction connue des coordonnées du point.
Ainsi, pour chaque composante isochrone du potentiel perturbateur, A est une constante ne dépendant que du mouvement des astres et C est une constante en chaque lieu considéré.
Nous savons, de plus, d'après la théorie générale des oscillations d'un système mécanique (Chap. I), que chaque composante isochrone complexe du potentiel perturbateur donnera naissance à une oscillation contrainte isochrone harmonique complexe de même période; de telle sorte, qu'en désignant par h la hauteur de la marée au lieu considéré, on aura
les X étant les mêmes constantes que celles qui entrent dans le développement du potentiel et les H étant des fonctions des coordonnées du lieu.
En mettant en évidence le module et l'argument de H, nous pourrons écrire, puisque les termes du second membre sont imaginaires conjugués deux à deux,
g-lCCf
a étant le module de la quantité imaginaire X, c'est-à-dire la vitesse angulaire de l'onde.
Ij'expression de la hauteur de la marée sous forme réelle sera
h = SAcûs(af + P).
ANALVSK HARMONIQUE. 3o7
Pour calculer la hauteur de la marée, il nous faudrait donc connaître, relativement à chaque oscillation particulière, trois quantités : la vitesse angulaire a, Tamplitude A et la phase S.
Les vitesses angulaires a sont les luèmes pour tous les ports, nous leur attribuons les valeurs théoriques du développement du potentiel, elles sont donc connues.
Les inconnues A et jj seraient fournies par l'intégration des équations différentielles du problème; mais, comme ce sont des constantes en chaque port considéré, on peut aussi chercher à les déterminer expérimentalement.
Lne fois ces constantes obtenues, il sera possible de prédire la marée.
Tel est le principe général de la méthode de l'Analyse harmonique. Son application comporte trois groupes d'opérations successives :
1° Observation de la marée pendant un temps suffisamment long ;
2" Calcul des coelhcients A et p;
3" Calcul de /i pour une valeur donnée de t.
180. Observation de la marée — Les appareils destinés à enregistrer automatiquement les variations du niveau de la mer sont des inarégraplies.
Ln mai^égraphe se compose essentiellement d'un puits dans lequel l'eau peut pénétrer par une ouverture étroite, de telle sorte <|ue le niveau dans l intérieur du puils soit le même que celui de l'océan, abstraction faite de l'agitation causée par les lames. Un flotteur, qui s'élè\e et s'abaisse avec l'eau, transmet les \arialions de niveau, par rintermè-diaire d'un système démulli|)licaleur, à un cvliudre enregistreur actionné par un mouvement d horlogerie.
De la courbe de marée ainsi obtenue, il est aisé de déduire le n'n'can moyen à partir duquel on doit compter A, eu prenant la movenne d'un grand nombre d'ordonnées équidistanles.
Mais on peut également se servir dans ce but du médiinarénti'l le .
Cet appareil se compose (Tuii tube vertical étanche, dont l'ex-
3o8 DKliXIIJME PARTIE. — CHAPITHE XI.
trémité inférieure est constituée par un vase poreux. L'équilibre de niveau s'établit alors très lentement, et l'amplitude des oscillations est très réduite. Le niveau moyen de l'oscillation résultante à l'intérieur du tube est le même que celui de la mer et peut se déterminer simplement par la moyenne d'observations faites à un assez long intervalle, une seule par jour, par exemple.
181. Calcul des coefficients. — Nous avons donc par l'observation une courbe nous donnant A en fonction de t. Il s'agit maintenant d'en déduire les constantes A et [j particulières à chaque onde. C'est enceci que consiste l'Analyse harmonique proprement dite.
Nous connaissons au lieu considéré
Considérons une onde particulière
Ho e''2<û'
et proposons-nous d'en déterminer les éléments. En mettant cette onde en évidence, nous écrirons
A = ZH é>'3"^-f- Ho e'«oS le S s'étendant à toutes les autres ondes.
Calculons l'intégrale
h e-'3io« dt,
pour un intervalle de temps T très long. Nous avons
H g;(a-ao)T j
... ....-, ^ + HoT.
Les termes où T figure en exponentielle restent toujours petits, quelque grand que soit T, tandis que le terme H^T devient très grand. Si T est suffisamment grand, ce terme sera donc le seul sensible, et l'on pourra écrire
HoT = r he-i--^otdt.
ANALYSE IIAK.MOMQLt:. OOÇ)
Le module de Hq donnera alors — et son argunient Sy.
En séparant les parties réelles et les parties imaginaires, nous avons pour déterminer Aq et S,, les deux relations
ApcnsS,, 1 r *" ^ "" T
1 h cosa,! t dt.
Aosin^o ' r\ ■ / // = — T^r / hsiwxatat.
182. Choix de la période T. — La séparation de chaque onde sera faite d'autant plus exactement que les termes introduits dans l'intégrale parles autres ondes seront plus petits.
Parmi ces termes, figure celui qui correspond à a^ — a,), c'està-dire le terme imaginaire conjugué de celui que nous voulons séparer. Comme il donne en facteur e~^'*"^— i, on le fera disparaître ainsi que les termes dont les vitesses seraient multiples de a„ en choisissant T de telle sorte que
— 'j-ii *- = g,
q étant un entier quelconque.
De plus, il conviendra d'éliminer tout terme susceptible de de\enir dangereux, soit parce que son amplitude est considérable, soit parce que sa période se rapproche de celle du terme à séparer. Soit, par exemple, H,ri'^i^ un terme à redouter; il donnera en facteur e"*'' *»*'^ — i. On annulerait donc entièrement rintluence de ce terme en prenant
/■ étant un entier.
D'où, entre ^et /•, la relation
Mais, a, et ao étant incommensurables, cette condition ne sera pas toujours exactement i-éalisable. On y satisfera le mieux possible, en prenant alors pour /■ et r/ les entiers les plus \oisins des valeurs exactes : /• sera notablement inA'-rieurà q.
Pour effectuer avec exactitude la séparation de toutes les ondes, il est nécessaire d'avoir à sa disposition un peu plus d'une année d'observations.
Supposons, par exemple, que nous voulions calculer l'onde So. Nous aurons à redouter avant tout rintluence de Mo dont l'amplitude est très grande, et dont la période est peu différente. INous prendrons pour /■ l'entier le plus voisin de
et pour q l'entier le plus voisin de
On trouve ici
Par suite, l'intervalle T devra comprendre -38 périodes de l'onde So, soit 869 jours moyens.
Pour calculer Mo, l'onde à redouter est So ; on aura
/• = 20 ; ^ = J14 ; T = 369', 5 (en temps solaire moyen).
Pour Ro, dont la période est un demi-jour sidéral, on redoute Mo ;
on trouve
Pour l'onde K| , dont la périodeest un jour sidéral, on redoute O; on trouve
Pour Tonde N, de période semi-diurne, on redoute Mo; on
prendra
/• = i3; gr = G8o; T = 358',7.
Pour l'onde évectionnelle majeure v, on redoute également Mo;
on prendra
/■ = 1 1 ; gr = GGG; T = 3 3o^,4.
Enfin, pour l'onde solaire diurne P, il y a à redouter à la fois K( et O; ce cjui conduirait à prendre, d'une part,
et, de l'autre,
ANALYSE HARMONIQUE. 3ll
Mais, en raison de la petitesse cle /■ dans le premier cas, le terme e"°''~^"'^ correspondant à K( variera très lentement, et l'on aura avantage à prendre pour q la valeur de 3(58 périodes qui annulera presque exactement aussi l'influence de K,. D'où
T := 369^ moyens.
183. Séparation des ondes par la méthode des moindres carrés.
— Au lieu de se servir d'une intégrale, comme nous venons de l'indiquer, on peut encore calculer les coefficients par la méthode des moindres carrés.
Les observations nous fournissent une série d'équations telles cpie
et il s'agit de déterminer les coefficients de chaque onde de manière à satisfaire le mieux possible à ces équations. Il faut donc choisir les H de telle sorte cjue
soil minimum. La première sommation S s'applique aux différentes valeurs de t correspondant aux N observations, la seconde aux différentes composantes de la marée qui sont toutes, deux à ■deux, imaginaires conjuguées. SoitHoC'^"' la composante à séparer. En dérivant par rapport au coefficient de la composante imaginaire conjuguée, nous aurons l'équation
S e-''ao< ( Z H e'=" — /i ) = o .
Mettons Hy en évidence; il ^iendra
