IH

\ étant la constante purement imaginaire qui définit la période.

Supposons que ozi représente une fonction quelconque de 5, et soit 8'-d' sa dérivée. Multiplions les deux membres de l'équation (i) par h'-^ds^ et intégrons tout le long du canal; nous aurons

/ ocp (i((Tco') == — / l(f 0^ ds

ou, en intégrant par parties,

[o(f (To'] — / ao' ôtp' c/5 = — / Zcp ocp ds.

Le premier terme disparaît en vertu des conditions aux limites. En effet, si la paroi est verticale, nous avons ç'= o, et, si la paroi est inclinée, o- s'annule.

Il reste donc, en multipliant par g-,

(2) ff I dcp' ôcp' o?i -H X2 I l'Si û'ji ds = o.

ocp est, comme nous l'avons dit, une fonction quelconque de s. Si nous prenons 09 = a, nous aurons

(3) ff Ta'^'s ds H- À2 / /cp2 ds = o.

Cette dernière équation n'est pas autre chose que l'expression du principe de la conservation de l'énergie. En elïet, l'énergie cinétique du liquide est

et son énergie potentielle est égale à

ds.

Lorsqu'il s'agit d'un canal rectangulaire de profondeur constante, nous connaissons la valeur de la fonction z>; nous savons qu'on a

. TZS

:= sin

les deux extrémités du canal correspondant aux valeurs s = dza.

Considérons maintenant un canal légèrement différent. Nous passerons dvi canal régulier à l'autre en donnant à a- et à / des accroissements respectifs 8t et ùl; il en résultera pour co et X- des accroissements oj, oX-, et il s'agit d'évaluer oX-.

Pour cela, différentions l'équation (3); il viendra

g- I 07 cp'- ds ^ ig I lo' oo' ds -+- SX- / /<f - ds

-I- X- / o/cp2 ds -+- '2 A- / lo ocp ds = o, c'est-à-dire, en vertu de (2),

(4 ) SX2 r/ç2 ds^ — g foG o'2 ds — X2 fol cp2 ds .

Cette relation nous montrera donc si la fréquence est accrue ou diminuée.

Faisons d'abord varier la largeur, la profondeur restant constante. On a alors

Q(j = h ol.

Or, o', étant proportionnel à cos — , s'annule aux deux extrémités :

cp'sera donc petit vers les extrémités et grand vers le centre, tandis que c'est le contraire pour cp.