CHAPITRE XYII
246. Marées dans un fleuve de section rectangulaire. — Jusqu'ici, nous avons toujours supposé que la profondeur était suffisamment grande pour qu'il n'y eût pas lieu de tenir compte de ses variations dues à la marée elle-même. Dans les rivières, la profondeur est, au contraire, trop faible pour qu'on puisse conserver cette hypothèse, et les équations du problème ne seront plus aussi simples.
En premier lieu, nous n'aurons pas le droit de négliger le frottement.
De plus, les déplacements n'étant plus très petits par rapport à la profondeur, nous ne pourrons plus négliger leurs carrés, et nous n'obtiendrons pas des équations linéaires.
Il est donc nécessaire de recourir à une analyse plus complète. ISous nous bornerons à l'étude d'un cas simple. Nous supposerons un fleuve rectiligne, de largeur et de profondeur constantes, et dont le fond est constitué par une surface plane d'inclinaison 1 constante. S'il n'y avait pas de marée, la surface libre serait un plan parallèle au fond et, en coupant le ileuve par des plans \erticaux, on obtiendrait comme sections des rectangles égaux. Par suite de la marée, la surface libre deviendra une surface courbe.
Prenons le plan du Tableau, soit le [)lan vertical mt»yen de la rivière, comme plan des xz {Jig. 60).
Désignons par .r, y^ z les coordonnées d'une molécule à l'instant
4lO QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVII.
zéro, s'il n'j avait pas de marée; et par x' , y, z' les coordonnées de cette même molécule à l'instant t, en tenant compte de la marée.
Nous aurons d'abord comme dans un canal
Le plan verlical projeté suivant AB découpe dans le fleuve une section rectangulaire appelée tranclie. Sous l'action de la marée, cette tranche se déplacera et viendra occuper la position A'B'.
JNous ferons cette hypothèse que A'B' est comme AB un plan parallèle au plan yz^ c'est-à-dire que x' est fonction de x seulement.
Cette hypothèse a toujours été faite jusqu'ici : la fonction cp était constante le long d'une même verticale à cause de la petitesse relative de la profondeur de la mer par rapport à la longueur d'onde. Ici, la longueur d'onde devient beaucoup plus courte, mais l'hypothèse continue à être légitime parce que la période est relativement très longue.
Posons
AB = h,
Il étant, par hypothèse, une constante.
Soit u le déplacement; nous aurons
Lorsque nous négligions les carrés des déplacements, nous
MARÉKS FI.UVIALIiS. 4'1
avions comme équation du mouvement
d^u d(y — p) dV'- dx
Il était alors indifïerent de considérer u comme fonction de t et des coordonnées initiales x^ y, z ou comme fonction de t et des coordonnées actuelles x', y', z' . Ici, il est nécessaire de faire
attention : — p— représente l'accélération, u doit être considéré
df^ ^ '
comme fonction de t et des variables initiales x^ y^ z qui restent les mêmes pour la molécule considérée. Dans le second membre, au contraire, ce sont les coordonnées actuelles qui doivent intervenir. Nous devrons donc écrire l'équation sous la forme
d-u d{\ — p) dt- Ox'
Mais de (i) on tire
d' x' d- u df' ~ df^ '
d'où, en portant dans (2),
dt' Ox'
dx
Multiplions par -j- {x' est fonction de x et de t)\ il viendra
. d'^x' dx' d{\ — p)
^ ^ dV^ ~dx ~~ dx '
Or, V — p est, à un facteur constant près, la fonction 'o qui a la même valeur tout le long d'une même verticale. En B', on a
y —p = Vo— ..?■-'— po-i-W,
ys étant le potentiel des forces perturbatrices et V 0 b^ valeur constante du potentiel dû à la pesanteur dans le [)lan horizontal des xy. Par conséquent,
d(\—p) ^ d{V^ -ffz') dx dx
Nous avons, d'ailleurs, (4) z' = C W = x' lan^l -\- h' ,
d'où
dz' , dx dh'
-5— = tanirl— 1 7—
dx dx dx
et
d(V ^p) , dx' d( W — gli )
dx dx dx
En portant celle valeur dans l'équation (3), nous obtenons finalement
/dix' \ dx' d(\V — gh' )
(5) T77^ ^^i^^nsM ^:r =
, df^ * ^ J iix dx
De plus, nous avons l'équation de continuité. Considérons deux tranches infiniment voisines, elles délimitent le volume d'un petit prisme de base h et de hauteur dx. Par suite du déplacement, la base devient h' et la hauteur dx' . On aura donc
(6) h dx = h' dx' .
'i47. Tenons compte maintenant du frottement.
11 faudra, pour cela, introduire un terme proportionnel à la
vitesse, et changer —j— en -j~^ — '^ f'~r " L'équation (5) deviendra alors
(d^x' ^dx' ^\ dx' d(W — gh')
^7) [-dïT -^/tzt + ^^^"êV^ --^ — d:i
Désignons par Uo la vitesse d'écoulement du fleuve vers la mer, abstraction faite de la marée. C'est une vitesse uniforme, qui se déterminera par cette condition qu'elle doit équilibrer le frottement. S'il n'j a pas de marée, le second membre de l'équation (n) est nul; on a, d'autre part,
d-x' dx' r^ dx'
— TV = o, — T— = — Uo, -1— = I.
dt' dt dx
Donc la vitesse Uo est donnée par l'équation
(8) /Uo=^tangI.
Posons
(9) ;r'= a; — Uo^4- ç.
MARIÎKS FLUVIALES. 4^3
S'il n'j avait pas de iiiarée, on aurait simplement
x' =^ X — Uo^.
Par conséquent, ç représente le déplacement dû à la marée. Posons également
(lo) /i'= h -+- (P,
w étant la hauteur de la marée.
\ et w sont des c[ULUitités très petites, mais qui ne sont pas négligeables par rapport à Ji.
Nous pourrons en général faire W=o, c'est-à-dire supposer que le fleuve n'a pas de marée propre, parce qu'en raison de la petite étendue du fleuve, le potentiel perturbateur est constant sur toute celte étendue. Il n'y aura pas ainsi d'autre marée que celle qui proviendra de l'extérieur.
Dans ces conditions, que deviennent nos équations ?
De (9), nous lirons
et de (10)
dx' dx
El
dt ~
-Uo +
dt
cH
df^
dv- '
dh' dx
dw dx
En substituant ces valeurs dans (7), nous obtenons
*S ^ . ;^î ni., ^ .„„. rW ,+ §)=-,? ^
c'est-à-dire, en tenant compte de (8),
Quant à l'équation de continuité (6), elle s'écrit
4l4 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVII.
c'est-à-dire
Les deux équations (i i) et (12) nous détermineront ^ et w qui sont les deux inconnues du problème.
218. Première approximation. — Nous allons d'abord supposer qu'on néglige le frottement et les carrés des inconnues ; par suite,
le produit -7-7 -r-' J^os deux équations se réduisent alors à
d' ç dw
et
dx II
On déduit, de cetle dernière équation,
dw d'^^
dx dx'^
d'où, en substituant dans la première,
et
df^ ^ dx-^
dV- * dx'^
C'est l'équation des cordes vibrantes; elle s'intègre immédiatement et nous donne
On peut remplacer x par sa valeur ^' + Uo ^ — i, et comme, à ce degré d'approximation, nous négligeons ç dans l'expression de «', nous aurons
t^ = F[^'- ^(v/^Â - Uo)] + F,[:z.'-t- f(v/i7^ -t- Uo)].
On retrouve bien, comme cela devait être, deux ondes progressives : l'une se propage dans le sens des x positifs, c'est-à-dire vers l'amont, avec la vitesse \^gh — Uq, l'autre se propage vers
l'aval avec la vitesse y/^7i + Uo. Les deux ondes sont donc entraînées par le courant
Mais la solution complète convient-elle, et quelle valeur faut-il attribuer aux fonctions F et F, ?
Si nous considérons la rivière comme indéfinie, il n'y aura pas d'onde réfléchie et l'onde d'amont subsistera seule.
En réalité, la rivière s'arrête et, s'il n'y avait pas de frottement, l'onde se réfléchirait totalement, il faudrait faire F^F( et l'on aurait une onde stationnaire. Seulement, tout se passe dans la nature comme si l'onde se propageait en diminuant d'intensité et se trouvait éteinte à lextrémilé. On s'étonnera peut-être que, dans cette première approximation où nous négligeons le frottement, nous tenions compte néanpioins d'un des effets de ce frottement qui est d'annihiler l'onde réfléchie. C'est que par suite du frottement l'onde réfléchie se trouve divisée par un facteur de la forme ef^\ l étant une longueur de l'ordre de la longueur de la rivière. Or, ce facteur peut être très grand, bien que f soit assez petit pour ne pas influer d'une manière sensible sur la vitesse de propagation. INous devons donc admettre qu'il n'y a pas d'onde se propageant vers Taval, et prendre
Quant à la fonction F, on la déterminera par cette considération que la marée est donnée à l'embouchure x'^=-o; nous devrons avoir en ce point
«'o=F[-K\/^-Uo)]
et la fonction F se trouve ainsi complètement déterminée.
Si nous comparons la solution ainsi obtenue avec les résultats des observations, il faut naturellement s'attendre à trouver des discordances.
D'après la théorie, la marée se propagerait sans s'aflaiblir ni se déformer, c'est-à-dire qu'on retrouverait la même fonction F en tous les points de la rivière. Or, l'expérience montre d'abord que la mar(''e va en s'alfaiblissant ; cela lient à l'influence du frottement, comme nous le verrons tout à l'heure.
En second lieu, puisque la forme de la marée n'est pas altérée,
4l6 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVII.
si nous supposons à l'embouchure une simple marée sinusoïdale, la marée restera sinusoïdale en tous les points de la rivière. Soit donc
«> />^ cos ijL ( ^ — t i/fi'h).
La mer mettrait alors le même temps à monter qu'à descendre. Or, l'observation montre que la durée du flot est inférieure à celle du jusant.
De plus, --j^ étant proportionnel à (X', q sera proportionnel à sin [j. {jC — t \/ gli) et le courant -j^ sera proportionnel à la marée iv.
Les maxima et minima du courant correspondraient à ceux de la marée. Ceci n'est pas vérifié non plus : il n'y a pas maximum du courant de flot au moment de la pleine mer.
il est donc impossible de se borner à la première approximation.
!249. Deuxième approximation. — Nous continuerons à négliger le frottement, mais nous tiendrons compte du carré des déplacements.
Posons
IV h'
^ + Â = X = '^' gh = Y'-
L'équation de continuité (12) s'écrit alors
Quant à l'équation (11), elle devient, en supprimant le terme relatif au frottement,
d-'c, i ^ dr^
HF ri ~~ ^ ^ TIx'
Nous avons donc finalement à résoudre le système d'équations
dt^' ' ' dx
dx r,
les deux inconnues étant ^ ety^. Nous ne chercherons pas l'inté-
MARÉES FLUVIALES. ^ly
grale générale, mais une intégrale particulière, qui a été indiquée par de Saint-Venant, et qui donne la solution du problème. Pour cela, nous chercherons si l'on peut satisfaire à la fois aux équations
(i3) et(i4) et à l'équation
a et p étant des constantes.
Il s'agit de montrer que ces trois équations peuvent être compatibles.
Calculons -jA ;
i nous aurons, de deux mani(
d-^'ç df^
a d'f^ .^ d-x\ .,^-dt ^ '' dx
De même
a di] I dr,
dx dt
" ■>, /^ dx ~~ 7)2 dt
D'où, en multipliant membre à membre.
ce qui se réduit à
a- dr^ dr^ y- dr] dq 4f] dt dx T) dx dt
Telle est la condition que doit remplir a pour que les trois équations soient compatibles. Il en résulterait deux solutions distinctes correspondant à deux ondes; mais, les équations n'étant pas linéaires, leur superposition ne donnerait pas l'intégrale générale.
Nous prendrons
ce qui correspond à une onde se propageant vers l'amont dans une rivière indéfinie.
Alors, toute solution du système d'équations
dx 7]
4l8 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVH.
satisfera également à l'équation (i3), et nous aurons
dr\ I dr\
~di "^ ~ '^^^' ~dx'
IVinconnue r\ est donc assujettie à satisfaire à une équation aux dérivées partielles du premier ordre.
L'intégration de cette équation se ramène, comme on sait, à celle d'un système d'équations différentielles ordinaires, lequel
est ici
di dx dr\
Nous avons de même
d\^dx[- -\\-^ dt{i^( v/^-h j3),
ce qui, en remplaçant dx et dt par les quantités qui leur sont proportionnelles, nous donne
dt dx dr, __ di,
Calculons également dx' . De (9), on tire
dx' = dx — Uo dt --H d^
et, en remplaçant dx, dt et dl par les quantités respectivement proportionnelles, on a finalement
dx' dt dx d(\ d\
Maintenant, quelle est la valeur de [j ?
\ représente une fonction périodique; par conséquentj la valeur
loyenne de -j sera nulle. Or,
dt
La valeur moyenne de ri est sensiblement i ; on aura donc sensiblement
!2oO. Nous venons ainsi d'intégrer, non pas l'équation différentielle elle-même, mais le système équivalent. Pour passer de l'un à l'autre, prenons comme variables r,, x' et t.
Nous aurons d'abord, puisque dr\ = o,
