j = const

avec

Or, 'p est une constante, Uq est également une constante ; on

peut donc poser

dx' I

s étant une fonction de 'c\. Donc, nous avons

r^ = const.,

f t ^= zx -V- const

SI nous considérons •/], .r' et t comme les coordonnées rectangulaires d'un point dans l'espace, on voit que les éc{uations (n) représentent des droites qui sont toutes parallèles au plan r^ = o. Celles de ces droites qui sont dans un même plan sont parallèles entre elles et ont pour coefficient angulaire s ; mais la direction varie d'un plan à l'autre.

Le lieu des points /), x\ t est donc une surface réglée à plan directeur. Toute surface réglée engendrée par les droites du système (17) satisfera à l'équation aux dérivées partielles, et Téquation générale de ces surfaces réglées, c'est-à-dire l'intégrale générale de l'équation aux dérivées partielles, se mettra sous la forme

(iS) .^=/(^^'s).

Cette équation nous donne à un instant quelconque / la hauteur de la marée w = A (7] — i) en un point quelconque x^ du fleuve. .r' détermine bien, en effet, le point du lleuve envisagé, celui où se trouverait un observateur non entraîné par le courant ; c'est le point où passe à l'instant t la molécule dont la coordonnée était x à l'instant initiai : x' représente donc la localisation du phénomène dans l'espace.

La solution donnée par l'équation (18) représente une onde se

propageant avec la vitesse

Cette vitesse est variable avec ri ; elle sera plus grande si ri est plus grand : par conséquent, la pleine mer se propage plus vite que la basse mer. Nous verrons bientôt une conséquence importante de ce fait.

Si l'on néglige le carré de w, y| est peu différent de un, et la vitesse de propagation se réduit à y — Uo : on retrouve le résultat de la première approximation.

Il reste à déterminer la forme de la fonction arbitraire qui entre dans la formule (i8). Pour cela, il suffit de connaître la marée à l'embouchure, qui est la cause du phénomène. Nous devons la considérer comme une donnée de la question ; à l'embouchure x' ^= o, la loi de la marée nous fournit donc la relation

et la fonction y est complètement déterminée.

La solution particulière de M. de Saint-Venant satisfait ainsi aux conditions du problème, la rivière étant toutefois considérée comme indéfinie.

Quant au courant, son expression est celle de -t-» mais en prenant X comme variable indépendante, soit

On voit que le courant est encore fonction de y) seulement, c'est-à-dire de la hauteur de la marée : ses maxima et minima coïncideront donc avec ceux de la marée, tout comme en première approximation. C'est au frottement qu'est dû le décalage qu'on observe réellement.