Explication de la formation des ondes composées
Nous avons vu (§ 185) que l'analyse harmonique décelait la présence d'ondes composées. La formule (i8) rend parfaitement compte de ce phénomène.
MAItÉlîS FLUVIALES. 4'ï
Nous avons
donc
w =1 hir^ — i) = o(t — x' b).
£ est une fonction de y], donc de w. Développons s suivant les Jouissances croissantes de w :
Comme iv est petit, nous pouvons négliger les termes du second ordre, et nous aurons
w = (f(t — .r'so — x'zi w).
Si nous faisons x' = o, nous aurons
t V = cp ( ^ )
et cette formule représentera la loi connue de la marée à l'embouchure.
Supposons que cette marée se compose de deux ondes simples, M2 et So par exemple, et prenons
w^Asiiia/H-B sin p t.
Posons
t — .t'eu = T.
[1 viendra, pour l'expression de la marée dans la rivière,
tV = (ù(z x' ZjW),
ou, en développant,
w = 0(1 ) — a.-' £ 1 iv cp' ( T ),
c'est-à-dire, en remplaçant dans le second membre (v par sa valeur approchée es (t),
Or
cp'(-) — A a cosaT -h li ^ cos^t.
Nous auj-ons donc à l'intérieur de la rivière w = A sinaT -+- B sin [Jt — ^'£i( A sinaT -h R sin jîx) (Aa cosa- -f- B p. co«^-).
En effectLiant le produit, nous obtiendrons des termes en
siiT2aT, siiî'ijB-:
et des termes en
sin(a -H pj-L, sin(a — p)x.
Les deux premiers donnent des ondes supérieures, dont la période est deux fois moindre que celle des ondes principales ; les deux autres termes donnent des ondes composées.
252. Explication du mascaret. — Nous avons dit que, la vitesse de propagation de l onde étant
3 Y \/'(] — 2Y — Uo,
cette vitesse sera plus grande pour l'onde de pleine mer que pour l'onde de basse mer.
Considérons l'onde-marée à l'embouchure ; elle suit la loi océanique et sera sensiblement sinusoïdale : la mer mettra le même temps à monter et à descendre, le flot et le jusant auront la même durée. Prenons comme instant zéro l'heure de la basse mer à l'embouchure ; la pleine mer se produira à l'heure 6 et la basse mer suivante à l'heure 12. Considérons maintenant une station en amont, dans le fleuve, et supposons que la basse mer mette 4 heures à se propager et la pleine mer seulement 3 heures.
En cette station, la première basse mer se produira à l'heure 4i la pleine mer à l'heure 9 et la seconde basse mer à l'heure 16. La durée du flot sera de 5 heures seulement, tandis que celle du jusant sera de - heures.
Il n'j aura plus égalité de durée comme à l'embouchure, et, dans l'intérieur de hi rivière, le flot sera toujours plus court que le jusant. Ce résultat est parfaitement conforme à l'observation.
Mais il peut même se faire que la pleine mer rattrape la basse mer précédente. Que va-t-il se passer alors?
Pour nous en rendre compte, considérons la surface réglée à plan directeur dont les coordonnées courantes sont tj, x' et i.
Les génératrices de cette surface se projettent toutes sur le plan des tx' suivant des droites
dont l'équation, puisque Tj est fonction de s, peut aussi s'écrire
Le long de chacune de ces génératrices, T| est une constante ; c'est-à-dire que, si nous envisageons tous les points du fleuve dont les distances à l'embouchure sont données par les ordonnées x' des différents points de la projection d'une de ces génératrices, la hauteur w de la marée y deviendra la même à des époques respectivement données par les abscisses correspondantes. Cette hauteur w se déduira d'ailleurs immédiatement du coefficient angulaire £ de la droite par la relation
-; = 3 7\/^— ay— Uo-
Pour connaître la fonction tj;, il suffît de connaître la loi de la marée à l'embouchure; celle-ci nous fournit, en effet, pourx' = o, entre t e\.y\ et, par suite, entre t et e, une relation t =^ '}(-)? ^"i est une donnée de la question. Si nous construisons la courbe ^ = J/(£), nous aurons une espèce de sinusoïde qui, entre les points correspondant à un maximum et un minimum successifs de £, présentera certainement un point d'inflexion.
Ceci posé, supposons tracées dans le plan des tx' toutes les droites
dont l'équation dépend du paramètre s, et considérons leur enveloppe ; nous l'obtiendrons en éliminant z entre l'équation (^19) et l'équation
(20) .r' -4- 'Vi e ) = o.
Les points d'inilexion de la courbe / = 4'1-) étant donnés par
il résulte des trois équations (19), (20) et (21) que l'enveloppe considérée admettra des points de rebroussement D [Jig. 61), pour les valeurs de £ qui correspondent aux points d'inilexion de la courbe t = 'h{&).
De plus, il est évident que leuxeloppe aura pour asymptotes les
droites de coefficient angulaire e minimum et maximuiîi. La première correspondra à la basse mer et coupera l'axe des t en A, OA étant l'époque de la basse mer à l'embouchure t'= g. Chaque point de cette droite nous fera connaître par son abscisse t l'heure de la basse mer au point du canal dont la distance à l'embouchure est égale à l'ordonnée correspondante x' .
De même, la deuxième asymptote correspond à la pleine mer et coupera Ot en B, OB étant l'heure de la pleine mer à l'embouchure. Cette deuxième asymptote est plus inclinée sur l'axe des temps que la première, qu'elle rencontre en C : le point C correspond donc à un point du fleuve qui serait atteint en même temps par l'onde de basse mer et l'onde de pleine mer suivante, la hauteur de la marée devant alors avoir à la fois deux valeurs dilTérentes.
Par tout point du plan des ix' extérieur à l'enveloppe, on ne pourra mener qu'une seule tangente à cette enveloppe : nous aurons donc pour le point correspondant x' du fleuve une seule valeur bien déterminée de la hauteur de la marée à l'époque t.
Mais si nous considérons un point situé dans la région du plan couverte de hachures, intérieurement à l'enveloppe, on pourra de là mener trois tangentes aux difterentes branches de la courbe.
Dans cette région, plusieurs nappes de la surface réglée se projettent l'une sur l'autre, et Y) n'est plus déterminé.
Nous aurons donc dans le lleuve, aux points et aux instants correspondants, la superposition de plusieurs ondes se propageant avec des vitesses différentes. Il en résultera un phénomène compliqué, produisant des mouvements irréguliers et constituant la perturbation connue sous le nom de mascaret.
Fi g. (il bis.
\\n amont de la région atteinte par la perturbation, nous aurons basse mer; en aval, pleine mer; dans l'intervalle, les mouvements tumultueux du mascaret.
253. Pour analyser le phénomène d'un peu plus près encore, supposons-nous en dift'érents |)oinls x' du lleuve, et voyons quelle est en ces points la loi de variation de la marée. iVous obtiendrons la courbe représentative de cette loi en coupant notre surface réglée par les différents plans .r':^ const. Supposons, par exemple, à l'embouchure une sinusoïde régulière. Un peu en amont, la durée du flot étant inférieure à celle du jusant, la sinusoïde se déformera et nous obtiendrons une courbe telle que celle de la figure 6i bis. Les points où la droite ,r' = const. rencontre, dans le plan des /.r', les asymptotes de l'enveloppe, coriespondent aux heures de basse mer et de pleine mer, c'est-;i-(liie aux tangentes horizontales de la courbe de marée en fonction du temps.
Kn tout point où la droite x' touchera lenvelojjpe elle-même, nous aurons deux \aleurs de la marée confondues en une seule, par suite une tangente verticale |)our la courbe de marée ( fig. 62).
l'our la valeur de x' correspondant à l'ordonnée du point de rebroussement D, nous aurons trois valeurs confondues : donc tangente verticale et point d'inflexion, courbe (2).
Plus en amont, nous aurons deux tangentes veiiicales, la courbe de marée se repliera sur elle-même, courbe (3). Il y a tout un
intervalle de temps pendant lequel la marée devrait prendre trois valeurs différentes.
A. une distance de l'embouchure égale à l'ordonnée du point G où se coupent les asymptotes de l'enveloppe, nous avons la courbe (4) •" à un certain instant, la pleine mer rattrape la basse
mer.
Fis- 62.
Plus en amont encore, on rencontre d'abord l'enveloppe avant ses asymptotes; les points où la courbe de marée a ses tangentes horizontales sont compris entre ceux où les tangentes sont verticales ; on aurait brusquement pleine mer avant même que la basse mer précédente ait eu le temps de se produire : courbe (5)
On obtient des résultats tout à fait analogues si, au lieu de chercher la loi de la marée en différents points du fleuve, on cherche la forme que prend l'onde de marée dans le fleuve à différents instants.
MARÉES FLUYIALlîS. 4^7
Cela revient à couper la surface réglée par des plans / := const. Eu se bornant à figurer le profil de l'onde dans les régions du fleuve atteintes par le mascaret aux différents époques considérées, on obtient facilement les courbes (2'), (3'), (4') et (5') correspondant à des époques t données par les abscisses des plans sécants.
Fis. 63.
La surface de l'eau ne peut évidemment aflfecter de pareilles formes. C'est qu'en réalité, l'hypothèse des tranches ne s'applique plus.
!2oi. Troisième approximation. — Jusquici, en deuxième comme en première approximation, nous obtenions une onde qui se propageait sans s'affaiblir.
De plus, le courant était maximum en même temps que la marée. Ces deux résultats ne sont pas vérifiés par l'observation et,
pour expliquer ces divergences, nous sommes obligés de recourir au frottement.
TiOulefois, pour ne pas compliquer le problème, nous supposerons qu'on peut alors négliger les carrés des déplacements.
Dans ces conditions, l'équation (i i) devient
et l'équation (12)
On a donc
dF '^•^ ~dt ~~ ^~cû'
d^ w dx h
iP\ .d\ ^d^\
On reconnaît l'équation, dite des télégraphistes, que l'on rencontre dans l'étude de la propagation d'une perturbation électrique le long d'un fil conducteur : on sait que cette perturbation s'affaiblit et s'étale, la tête se propageant avec la vitesse de la lumière et la queue avec une vitesse moindre.
Nous intégrerons très simplement l'équation (22), sans nous préoccuper de l'intégrale générale, en cherchant ici à j satisfaire par une expression de la forme
\ et a étant des constantes imaginaires. L'équation, étant linéaire et à coefficients constants, sera satisfaite également par --■ ainsi que par w.
Mettons en évidence les coordonnées t q\. x' \ nous aurons
J ^^ ^A<-+-ax :— ; gV t-\-a.' x' ^
Au degré d'approximation adopté, il suffit de prendre
x' =: X — Uo^.
Novis aurons donc en identifiant
X = X'-F- a'Uo, a = a'.
MA RE lis FLUVIALES. 4'*9
L'équation différentielle sera satisfaite si nous avons
(20) (À'-+- a Uo )'-+/()/+ a' Uo) ='(^x'-;
V est purement imaginaire : c'est une donnée de la question, connue par la loi de la marée à l'embouchure.
L'équation (28) déterminera donc a' de manière que l'équation (22) soit satisfaite. Nous obtenons ainsi pour a' deux valeurs; mais une seule convient au problème, car nous devons avoir une onde se propageant vers les x' positifs. Si nous posons
)/ = i ix,
[j. étant réel et positif, nous aurons
a' = — iv - p,
V et [i étant également réels et positifs.
Alors
et, en prenant la partie réelle, ce qui est légitime, puisque l'équation est linéaire, on aura la solution réelle
^ = g-P-*^'' cos( IX t — vx' ).
Elle représente une onde se propageant avec la vitesse uniforme -, mais allant en s'affaiblissant à cause du coefficient d'alïaiblis-
sèment e^P*^'.
Ceci est bien conforme à Tùbservation, De plus, si nous considérons la hauteur iv de la marée, et le courant de marée -^> il n'y aura plus concordance de phase comme précédemment. En effet, w est proportionnel a -i-j et nous avons
i^ -ai dx " ^'
^ = )A dt '
il y aura donc concordance ou discordance de phase entre ces deux expressions, selon que le rapport - sera réel ou imagi-
naire. Or
Si donc [i ^ o, il y aura décalage.
