CHAPITRE XVIII
"Ibo. Nous consacrerons cette dernière Partie à l'élude sommaire de quelques questions accessoires, telles que les marées du noyau interne du globe, et l'action séculaire exercée par le frottement des marées sur la rotation de la Terre, le mou\ement de la Lune et celui des corps célestes en général.
Jusqu'ici, dans l'étude des marées océaniques, nous avons toujours procédé comme si le noyau terrestre était un solide invariable. Or, il n'en est pas ainsi. Plusieurs considérations, d'ordres divers, conduisent à admettre, soit un noyau liquide, soit un noyau constitué par un solide élastique. L'attraction de la Lune s'exercera donc sur ce noyau, qui va se déformer et sera, comme la mer, soumis à des marées. La marée océanique observable ne sera que la différence des marées de l'Océan et du noyau interne. C'est surtout à sir G. Darwin que nous devons les travaux théoriques les plus importants sur cette question. Nous allons en donner un court résumé.
256. Marées d'une sphère homogène élastique. — Supposons d'abord le noyau constitue par une sphère parfaitement élastique.
43 2 CINQUIÈMK l'ARTIli. — CHAPITRE XVIII.
Considérons à l'intérieur de celte splière un élément de surface ofoj perpendiculaire à l'axe des x\ la pression sur cet élément sera généralement oblique et ses trois composantes seront
De même, pour un élément <:/ol> perpendiculaire à Ojk, nous aurons les composantes
et pour un élément <r/co perpendiculaire à O:; V -x dw^ V -y â?w, P;:; dw.
Dans ces expressions, le premier indice indique l'axe perpendiculaire au plan sur lequel s'exerce la pression, le second l'axe parallèle à la composante.
En vertu de la théorie de l'élasticité, si l'on intervertit les deux indices, la composante conserve la même valeur :
r xy — • "^ r.r-
La théorie de l'élasticité nous fait connaître également les expressions de ces composantes. Désignons par m, r, w les composantes du déplacement, et posons
,^ v^ da ' ^ Zd dx^
0 représentant la dilatation cubique.
Nous aurons
D / M> du
/ du dv \
p / du div \ dz dx
les autres expressions se déduisant de celles-ci par symétrie. Afin de conserver les signes habituels, nous considérerons P^^x comme une pression et non une traction : les coefficients d'élasticité m et n sont alors négatifs.
En désignant par X, Y, Z les composantes de la force extérieure rapportées à l'unité de masse, nous aurons trois équations d'équi-
1 di
dx
+ n Iv
'~dy
\ dz
dY ~ Il
MARÉES nu NOYAU INTERNE DU GLOBE. 433
libre de la forme
C/P.cr dV,ry dV.rz ^ dV
dx dy dz dx
V étant le potentiel d'où dérive la force extérieure.
Il est inutile de tenir compte des forces d'inertie, car, pour des raisons que nous allons bientôt faire connaître, il nous suffira de faire une théorie purement statique (voir § î26o).
En remplaçant les composantes de la pression par leurs valeurs, les équations de l'équilibre s'écrivent
257. Le potentiel V se compose de trois parties, et nous pouvons écrire
Le premier terme W est le potentiel dd à l'action de la Lune; le deuxième V représente l'attraction de la sphère non déformée; le troisième terme V" représente l'attraction du bourrelet, en partie positif, en partie négatif, compris entre la sphère .. on déformée et la sphère déformée.
En général, dans l'étude des marées océaniques, on pouvait négliger le terme analogue, désigné par H", parce qu'il s'agissait alors d'un bourrelet liquide de densité bien inférieure à celle de la partie solide du globe; mais, ici, nous avons affaire à une sphère entièrement homogène, et il faudra tenir compte du bourrelet.
Nous poserons
(3) A2cp = V — /no.
Les équations d'équilibre deviennent alors
de
fl
.dr ' dy
Air
.d'i dz'
434 CINQUIÉMK l'AUTIE. — CIlAinTHJi: XVIII.
Ces équations étant linéaires, nous pourrons tenir compte séparément de V et de W -j- V". Le premier terme donnera certaines valeurs pour ii^ v^ w] nous en aurons d'autres avec W -f- V"; il suffira d'additionner pour obtenir la solution.
258. Occupons-nous d'abord de V; V étant une fonction de la seule distance r du point considéré au centre de la sphère, nous pourrons satisfaire aux équations (y.) en posant
cm. cra dn
dx dy dz
H étant une fonction de /• à déterminer. En effet, nous aurons alors, d'une part,
puis, en substituant dans (2) et réduisant le potentiel au terme V\
c'est-à-dire
ainsi que
m -^- AH -1- /i A -;— = -7— , dx cLv ax
d\\ dM'
, dU dW
( m -\- n)à —;— = -7— 7 dy dy
Ces équations seront satisfaites, si l'on pose {m -\-ii)^\\ = V.
Les expressions des composantes de la pression deviennent alois
?,,,.= ( m — n ) AU -H 1 n — — - , ^ ^ dx-
^2 H dx dz
Ce que nous avons besoin de connaître, ce sont les trois com-
MARKI'S DU NOVAU I\Ti;HMC DU GI.OBL;. 435
posantes ^, •/] eL (^ de la pression qui s'exerce sur un élément de la surface même de la sphère. Si nous prenons le rayon de la sphère comme unité et si nous désignons par .r, y, z les coordonnées du centre de gravité de l'élément superficiel, x, j-, :; représenteront également les cosinus directeurs de la normale à cet élément, et nous aurons
c'est-à-dire, en remplaçant les composantes P par leurs valeurs,
^ = x( m — n) Ali -+- 9, /lU, après avoir posé pour abréger (§ 2o9)
dm dm d^ii xri d^]
r -7Z-T77. + - -Tzr-r. = 7 , -^
dx' -^ dx dy d.r dz jLd ' ' d.r 1 d.
Or, si nous considérons la dérivée de la fonction H suivant un rayon, nous avons
dx -^ dy dz
dH
c'est-à-dire
On en déduit
^ rffi fPrn^ d:^ \\ d^m du
dx dx dx- dx dy " dx dz dx '
d'où
dx dx r r
Par conséquent,
ç = ( /Il — n)x \\l -\- -xnx H".
Mais, la fonction PI ne dépendant que de /•, on a, pour l'expression de son laplacien en cooi-données polaires,
Ail = II" -4- ^ ir,
et il vient alors
^ = {m -+- n)x \\l - -!-^- ir = .rV'— ^^ H •
A la surface d'équilibre de la sphère, pour /• = i , cette expression doit être nulle; nous avons donc, sur cette surface, H' proportionnel à V.
D'autre part, on a
i = 'SL = ^,
et, par suite, la pression sur tout élément sphérique à la distance r du centre esl normale à cet élément.
Si nous considérons un point très voisin de la surface d'équilibre, à la dislance R de cette surface, de telle sorte qu'on ait pour
ce point
les composantes de la pression sur l'élément sphérique passant par le point considéré seront données par les expressions
et elles s'annuleront pour /■ = i . Si donc on suppose R petit, il suffira, pour connaître les composantes de la pression, d'avoir la
valeur — y pour /• = i de la dérivée de la fonction V — ^ — H' par rapport à r. Il en résultera alors
Le calcul de y se fera d'ailleurs très simplement en observant que pour une sphère homogène de rajon un^ dont la densité est prise pour unité, on a à la surface
o Dans le cas d'une sphère sensiblement incompressible, n serait très petit par rapport à m\ l'expression de - se réduira à V et,
comme —r-: = ^' à la surface d'équilibre, on aura simplement
En résumé,
Y étant proportionnel à g^ et égal à g pour — = oo.
259. Considérons maintenant le groupe de termes W -|- V". W, le potentiel de l'astre, est une fonction sphérique du second ordre ; on aura donc
et
j^ dx
AW = o.
Nous chercherons à satisfaire aux équations du problème, en
posant
X^ca ^ a W,
0 = pW,
dx dx
a, |3, A, B, G étant des coefficients à déterminer. Nous aurons
du ,„, , fAV ,^ ^ r^ d'-W ,^ ^W
-— = X\\ ^ Xx— i-(Br2-1- C)-^-— -+- -îBx—r-,
dx dx dx- dx
d'où
^=^^ = ^^'^^(^-+-^'B)^x^=.{5X + iB)W,
et, par conséquent,
Calculons également ^u. On a, d'abord,
, „, „, dW dW
à.(xW ) — X AW H- 2 -p- = 2 —r- y dx dx
puis d'où
d- l dW\ d\Y d'W
dx'^ \ dx / dx " dx dx '
\ dx ) dx ~'^Jmd dx I d.r
Celte dernière notation > x-, , , > signifie que, dans les deux
.^ dx dx ° ^ '
autres termes de la somme, on doit changer x en j^ et en c et de même le premier dx non souligné en dy el dz, mais que l'on doit
conserxer le \dx souligné.
Mais, —j— étant une fonction homogène du premier degré en X, jK, :?, on a
dx I dx dx '
donc
dx J dx
Le troisième terme de a ne donnant rien, puisque W est du second degré, on a
t^ii = ^—(2 A + loB).
dx
En substituant dans (4), il vient
(7) a = n(2 A -i- loB).
Désignons par R l'expression
R = xu-^yv-^zw = A7'2W + 2B7-nV + 2CW;
— est la composante du déplacement suivant le rajon vecteur. Sa
valeur à la surface, pour /• = i , représentera donc la hauteur de
la marée, soit
c'est-à-dire une fonction sphérique du second ordre.
Le bourrelet d'épaisseur R engendrera un potentiel V", dont l'expression en un point de la surface sera
Les deux fonctions V" et -t~R? qi^ii ont, la même valeur sur la
surface, satisfont, en outre, dans l'intérieur de la sphère, toutes deux à l'équation de Laplace; elles sont donc identiques en tous les points de la sphère, et nous avons, en substituant dans l'équation (3),
(8) a = i-f- ^(A + 2B4-2C)— WjS.
260. Nous avons ainsi les trois relations (6), (7) et (8) entre
S.ARÉES DU NOYAU INTKUNE DU GLOBE. 489
les cinq coefficients qu'il s'agit de déterminer ; nous en obtiendrons deux autres en cherchant à calculer les pressions. Nous avons
^=^P.,,-l jKF.r,.+ -sP.r.;
d'où, en remplaçant les composantes par leurs valeurs tirées de (i),
^ , ^ . ^ «:/|j;£ -^ du
jm^ dx ^^ d X
Or,
et, en différentiant on obtient
Donc
d\x d\2L du
dx dr '
-^ du d\\
d Vr dx
> , , . du (dK
t, = ( m — n)xo -h nr — 1- ji ~ u
dr \ dx
1 du \ d"^
^ (ni — n ) X 0 -^ n { r —, u ] -^ n -r— •
\ dr / dx
Reportons-nous à l'expression de //,
if = A a^W -4- B /■- h- G —j— •
dx dx
Les termes en A et en B sont du troisième degré et le terme en C est du premier. Si la valeur de ii était réduite à ses deux premiers termes, nous aurions donc
du •\^ du r —r- = ^ X -7- = b u, dr .^ dx
et, par suite,
du
r — u =■ •lu.
dr
De même, si u ne comprenait que le terme en C, on aurait
et
du
44t> CINQUIÈME PARTIE. — CHAPITRE XVIII.
Il suffit donc de tenir compte des termes en A et B pour former le second terme de l'expression de i; on aura
I du \ . „, o , dy\
dr / dx
D'autre part,
r^ = 2:rW(A 4- 2B) -f- (A/-2-t-2B;'2+ 2C)-^.
On a donc finalement
\ — i^m — /«jirj3W + 2A /i.r AV -H 2 B nr"- — —
-|-9.rta?W(A -4- 2 B) + n(A7-2 f- 9B/-2-t-2C)-^— .
Or, que doit être la pression ^? Si nous considérons un élément de la surface déformée, la pression totale doity être nulle. Celle-ci comprend d'abord la pression provenant du potentiel V, et dont l'expression, donnée par (5), est — yRa?; puis la pression provenant des termes en W H- V", que nous venons de calculer. Pour avoir l'expression de cette dernière à la surface libre, il faudrait faire ;- = i + R; mais on peut négliger R parce que V" et W sont beaucoup plus petits que V. L'expression précédente doit donc se
réduire à
^= + YR.r
pour r ^\.
En identifiant, nous obtenons les deux autres relations cherchées, à savoir
(9; A -i- 4B -I- iC = o,
Comme y est connu, les cinq équations (6), ('y), (8), (9) et (10) détermineront les cinq coefficients A, B, C, a et ^.
