LE PROBLÈME DE L\ FONCTION PERTURBATRICE
211. On se rappelle quel est le principe de la méthode de la variation des constantes que nous avons exposée au Chapitre IV, Tome I. On adopte comme variables indépendantes l'un des systèmes que nous avons appelés systèmes de variables képlérienneSy par exemple le système des variables L, X, ç, i\ {Cf, n"* 56, 57, 78,79).
On arrive ainsi aux équations (4 bis) du n" 93
dh
dt ""
d?x dy\ û?F, ^'dk' dt=^d^'
d>. dFo dFi dt ~ dL ' ^ rfL '
dt ~
Les fonctions F© et F| ont été définies aux n*** 36 et suivants; la première est très simple, la seconde est ce qu'on appelle la fonction perturbatrice.
Nous avons vu aux n"** 83 et 99 que cette fonction peut se développer sous la forme
(2) |JiF| = VAcos(Ar,X,H-AriXi-i- A)Oll,
OÙ ks et k'i sont des entiers, où A et h dépendent seulement des L et où ;)rL est un monôme entier par rapport aux \ et aux 7). D'après la méthode de Lagrange, il faut alors :
r* En première approximation, regarder toutes les variables képlériennes comme des constantes, sauf les X qui seront des fonctions linéaires du temps; on aura ainsi
On aura d'ailleurs
{Cf. n"«82et97).
2** En seconde approximation, remplacer les variables par leurs valeurs (3) dans toutes les dériyées partielles de F|, de sorte que les termes des équations (i) où figurent ces dérivées deviennent des fonctions connues du temps. Les équations (i) s'intègrent alors facilement par quadratures.
3® En troisième approximation, remplacer dans les dérivées de F| les variables par leurs valeurs de seconde approximation et intégrer de nouveau les équations (i) par quadratures, et ainsi de suite.
Généralemenl la seconde approximation suffit. Si l'on remplace la fonction F, par son développement (2 i et qu'on procède à cette seconde approximation, on trouve tout de suite
L/=L?-+-y ^Acos(A:,X,-+->t,X,-H/i)On,
de sorte que le problème des perturbations planétaires (au moins jusqu'à la seconde approximation inclusivement) serait entièrement résolu, si l'on connaissait le développement (2).
Or nous avons bien montré que le développement (2) est possible, mais nous n'avons pas fait voir comment on pouvait efiectivement l'obtenir. Ce dernier problème, dont on comprend aisément
