LE PROBLEME DE LA FONCTION PERTURBATRICE

l'importance, va maintenant nous occuper, et je veux seulement, dans ce Chapitre, montrer sous quelles formes diverses il se présente.

î21î2. Nous avons vu au Chapitre II que la fonction perturbatrice pouvait être mise sous trois formes différentes qui sont celle des n*»» 26 et 43, celle des n"« 30 el 38, celle du n** 41.

Dans ces trois cas, nous avons décomposé la fonction perturbatrice en deux parties, la partie princiftale et la partie complémentaire.

Au n" 38, nous avons écrit la partie principale sous la forme

au n*^ 43, de même qu'au n"4'4, sous la forme

v/( jr; - x\ )«H- (ar; - x\ )»-f- (:r'„ - x':, )*

11 est aisé de passer d'une de ces expressions à l'autre; elles ne diffèrent en effet que du premier terme de la parenthèse (4).

Or ce terme ne dépend que des coordonnées x\^ a;',, x\ de l'une des deux planètes fictives; le développement peut en être obtenu aisément ainsi que nous le verrons dès le Chapitre prochain.

Passons à la partie complémentaire de la fonction perturbatrice; si nous adoptons les variables du n" 30, nous avons trouvé au n" 38 l'expression de cette partie complémentaire et nous avons exposé ensuite, dans le même n" 38, comment on pouvait passer du développement de la partie principale à celui de la fonction perturbatrice complète, et, par conséquent, à celui de la partie complémentaire. Nous reviendrons sur ce point.

Si nous adoptons au contraire les variables du n" 26, la partie complémentaire a une expression plus simple et elle s'écrit comme nous l'avons vu au n® 43 :

Si enfin on adopte les variables usuelles, c'est-à-dire celles du n"* 44, la partie complémentaire n'est plus la même pour les deux

planètes. Pour l'une, elle s'écrit

( 7 ) "BG»~ ( ^1 ^* "^ ^2 ^5 "^ -^3 •'^e )i

et, pour l'autre,

Nous verrons plus loin que le développement des expressions (6), (7), (7 bis) est très aisé.

Le problème se trouvera donC ramené au développement de l'expression (5) et c'est cette question qui nous retiendra le plus longtemps. Nous aurons ensuite à voir comment on peut passer du développement de (5) à celui de la partie complémentaire sous ses diverses formes et quelles relations il y a entre les développements des diverses expressions (5), (6), (7), (7 bis),

213. Nous avons défini au n" 59 quatre systèmes de variables képlériennes; ce sont :

I** Le système des éléments elliptiques

2° Le premier système d'éléments canoniques

3® Le deuxième système d'éléments canoniques

L, pi^ X, (Di;

4" Le troisième système d'éléments canoniques

L, {,. X, ïj/.

Selon que l'on adoptera l'un ou l'autre de ces systèmes de variables, le développement de la fonction perturbatrice sera évidemment différent. Heureusement il est aisé de passer d'un développement à l'autre.

Si l'on adopte l'un des systèmes d'éléments canoniques comme nous l'avons fait dans tout le Tome I, on a cet avantage que les équations du problème conservent la forme canonique.