PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DE LA FONCTION PERTURBATRICE

â38. 11 s'agit maintenant de passer au développement de la fonction perturbatrice elle-même et je voudrais exposer d'abord quelques considérations générales sur la façon dont se pose ce problème.

Au n® âiâ nous avons rappelé sous quelles formes diverses se présente cette fonction. Nous devons d'abord nous occuper du développement de l'expression (5) du n? 212

c'esl-à-dîre de ce qu'on appelle la partie principale de la fonction perturbatrice; c'est le problème le plus difficile, et, une fois qu'il sera résolu, le développement des autres parties de la fonction perturbatrice s'en déduira presque immédiatement. Supposons, en elTel, qu'on ait développé cette expression (5) en fonction des éléments elliptiques osculateurs de la première planète

el de vvxix de la seconde

el qur Ton ail trouvé ainsi

(n -===^== =/(a„ at, ...),

(*) 0|»tMiiiiiiU pour économiser les indices je désignerai quelquefois ces éléiiifiiU |iiir a, «r

PROPRiéTBS GBNBRALKS DE L4 FONCTION PERTURBATRICE. 35

OÙ/ est une fonction des 12 éléments elliptiques osculateurs. On en déduira

h étant un coefficient constant quelconque. Si, en effet, on change ai en Aai, les autres éléments e^^ £|, /i, ^1 et 0| ne changeant pas, non plus que les éléments osculateurs de la seconde planète, les coordonnées de la première planète, a?',, x'.^^ x,, se changeront en hx\^ hx'^n Axj, et celles de la seconde planète x\^ ^r'-, x'^^ ne changeront pas.

Or, nous avons vu au n" 36 que la fonction perturbatrice, si Ton adopte les variables du n^ 30, prend la forme

'"^'"^(bïï - Xb) "^'^^'^^bB "" B^) •

avec

Il s'agit d'obtenir les développements de

ÂB' BC' BD

Or, l'application de la formule (2) nous donne immédiatement

AB=-^i;^rri;r,^»'^»»"j'

Cette dernière expression /(o, a^, . . .) ne peut évidemment dépendre que des éléments de la seconde planète; on l'obtiendra immédiatement si Ton observe qu'elle n'est autre chose que l'expression - relative à la seconde planète, et que nous avons appris

plus haut au n° 231 à développer -•

36 CHAPITRE XYI.

Supposons maintenant que nous ayons adopté, au lieu des variables du n** 30, celles du 'n° 26 ou celles du n* 44-. 11 faudra alors développer la partie complémentaire de la fonction perturbatrice, qui, ainsi que nous l'avons rappelé au n° 213, peut prendre Tune des trois formes suivantes