Pour déterminer M il faut donc étudier l'équation

(34) u — tanga=-> ou en posant •; u = e

(34 bis) e H- cote = o.

Je me propose de démontrer que l'équation (34 bis) ne peut avoir que des racines purement imaginaires. Posons, en effet,

(f = cosep, il vient

avec [en tenant compte de (34 bis)]

\ ^ = ?» .iaJfcpo"»' P= I»

( ^ = o, pour p = o.

Supposons que l'équation (34 bis) ait deux racines £ et ei ; à ces deux racines correspondront deux fonctions f et cp^ , et l'on aura

Le second membre s'annule, tant pour p = o que pour p == i, à cause des équations (35), et il reste

(8*— e}) / <pïp, rfp = o.

Si l'équation (35 bis) admet une racine e, elle admettra la racine imaginaire conjuguée e, ; les deux fonctions cp et ç i seront

APPLICATION DES PONCTIONS DE BBS8BL. 33

imaginaires conjuguées, leur produit sera essentiellement positif, de sorte qu'il restera

Cela ne peut avoir lieu que si e^ est réel. Si e^ est réel positif, € est réel. Mais les racines réelles ne sauraient convenir à la question, car Téquation (3o) conduirait à une valeur de e plus grande que I .

Si £*'' est réel négatif, e est purement imaginaire. Il s'agit donc de rechercher la plus petite racine purement imaginaire de l'équation (34 bis) ou, ce qui revient au même, en changeant e en «'e, la plus petite racine réelle de

(36) e(E-e— Ee)-f-(E-e-+-Ee) = o;

on en déduira la valeur de M par la formule

On trouve ainsi

ce qui prouve que nos séries convergent toutes les fois que l'excentricité est inférieure à 0,6627; l'équation (36) n'a d'ailleurs qu'une seule racine positive.