LES OPÉRATEURS DE NEWCOMB

sera ce qu'on appelle un opérateur; c'esl un symbole d'opération. Si j'appelle Uk cet opérateur, je pourrai écrire

II) F(a?-+-Ê) = F(ar)-HAn|FH-A«n,F-h....

Cela nous indique déjà l'esprit de la métliode; mais nous allons voir comment on peut former ces opérateurs. A cel effet, je fais

d'où

F(a7-He) = E'^E'^e,

nAE^'=E>^(6,XH-...-i-6;tX*).

En faisant donc F(:f) = F^ dans la formule (i), nous trouvons

E^e = y A^Da

en convenant de remplacer D'" par a*" et de faire IIq = i .

En d'autres termes, on obtiendra l'opérateur Il^t en développant E''^ suivant les puissances de h comme si D était une quantité ordinaire et en conservant le coefficient de h^.

Nous pourrions donc regarder E*** comme un opérateur et écrire

(•i) F(ar-i-8) = E»e(F).

Envisageons maintenant une fonction de deux variables F(j7, 7) et cherchons à développer ¥{x -\-z^ y -he') avec

e = «1 A -h aj A* -h aj A' ^. , , , ^ e'= a; A -h ai A» -h ai A» H-....

Nous pourrons opérer de la même manière, nous développerons Y[x -h e, j^ -h e' J suivant les puissances de s et de e' par la formule de Taylor; nous développerons ensuite e'^e'" suivant les puissances de h et nous ordonnerons par rapport à A, nous trouverons ainsi

où 11;^ sera un opérateur qui prendra la forme d'un polynôme entier en D et en D', avec cette convention que

est le signe d'une opération qui consiste à différenlier p fois par rapport k x e\,q fois par rapport à y.

Pour déterminer ce poljnome 11*, il suffira de prendre pour F(:f, ^) la fonction particulière E^^-^^t*/), ce qui, par une analyse toute pareille à celle qui précède, donnera

en remplaçant D et D' par X et u. dans le second membre. Nous pourrons donc écrire Symboliquement

en regardant E"^*"^"'*' comme un opérateur.

272. On pourrait supposer que e et e' dépendent, non d'une seule variable A, mais de deux variables h et h' ou d'un plus grand nombre, et qu'on veut développer F(a: + e,^K 4- e') suivant les puissances de h et de hl \ il n'y aurait rien à changer à ce qui précède.

On retrouverait la formule (2 bis) sans aucune modification; quant à la formule (1 bis) il faudrait l'écrire comme il suit :

F(ar -h E, j^ -h e') = V h^h'JUfjF,

Examinons de plus près l'opérateur fl/y, je dis qu'il y aura un cas où l'on aura

de sorte que notre opérateur à double indice pourra être regardé comme le produit de deux opérateurs à simple indice. C'est le cas où £ est égal à une fonction de h seulement, plus une fonction de h' seulement, et où il en est de même de e'. Supposons, en effet,

£, et e'^ dépendant de h seulement, tandis que s^ et s^ dépendent de h' seulement. On aura alors

EDe-f-De - EDe»-f-D'£iEDe,-i-D'eè