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et les longitudes vraies

Il suffit d'appliquer les principes du numéro précédent, en faisant jouer à - le rôle de F(j?, y), à

loga, loga', C, Ç',

le rôle de x et ^, à

logr, logr', V, v\

celui de X -h e, ^ -}- e', et par conséquent à

(4) log-, log -7, p-Ç, v-x:

celui de e et e'. En effet, ces quatre quantités (4) sont développa blés suivant les puissances de

eEif, eE-if, c'E'"''. e'E-if

qui vont jouer le rôle de h et h' et ne dépendent d'ailleurs pas

de AT, a', Ç, Ç'.

Soit donc F le développement pour les excentricités nulles et

LES UI>ÊRATEURS DK NEWCOMB. 91

F, le développement dans le cas général; soient

des indices de diiTérentiation se rapportant à

loga, C, loga', C;

nuiis aurons pour l'expression analogue à De -H D'e' D log ^ ^ D, (1. - Ç) ^ D' log ^ -^ d; (i^'- C),

de sorte qu'on aura symboliquement par la formule (2 bis) :

(5) F,= ^-V ^Ciy E»i(»'-C»+Di<''-Ç')F.

L'expression

(6) (-\ (-,) E»«'»'-^)-»'ii»''-^')

peut se développer suivant les puissances de

en faisant le calcul comme si D, D', D|, D'^ étaient des quantités ordinaires; les coefficients du développement sont alors des polynômes entiers par rapport à D, D', D<, D'^. Soit alors

le développement ainsi obtenu; ce que je puis écrire :

en écrivant m, m', q, q' au Heu de a 4- p, a'H- P', a — p, a — P'. Le coefficient II sera un opérateur qui dépend des quatre nombres m, m', q^ ^', ce que nous mettrons en évidence en Privant

Ttmm'

Nous aurons alors

9^ CIIAPITHB XI\.

Maintenant F c'est le développement dans le cas des excentricités nulles, tel qu'il a été obtenu au Chapitre précédent. Soit

ce développement. Nous sommes conduits à calculer

pour appliquer cet opérateur à la fonction AE'f^^"*'/''^'^ il faut faire subir à cette fonction diverses différentiations par rapport à

loga, loga', Ç, C;

mais, pour la différentier par rapport à ÎT ou à s'j il suffit évidemment de la multiplier par ip ou ///. Nous pouvons donc l'écrire

Dans le premier membre U'^jp' a le même sens que plus haut; c'est un polynôme entier par rapport ii D, D', D|, D', ; dans le second membre, c'est le même polynôme, mais où les symboles D|, D', sont remplacés par les quantités ip et ip'. Il ne contient donc plus que deux symboles d'opération D et D' et il est appliqué à la fonction A. qui ne dépend plus que de loga et loga'.

11 reste finalement

i = F. = V c'«e''«'E' /'C-^A^'C-^v/^-^v'» n;?':' A. Le coefficient du terme en

est donc

ïl"""' A

A désignant le coefficient du terme en

lequel, ne dépendant pas des excentricités, a éré déterminé au Chapitre précédent.