LE PROBLEME DE LA PONCTION PERTURBATRICE
2" Suivant les variables elliptiques ou, si Ton aime mieux, puisque suivant les variables elliptiques
3" Suivant les variables canoniques (10) L, p„ X, u)/;
4** Suivant les variables canoniques (n) L, {,-, X, ïi/,
et nous aurons principalement à rechercher comment on peut passer d^un de ces développements à un autre.
214. La fonction perturbatrice va donc se développer sous la forme
(12) V B cos(^iXi + A:sXs) -h^C sin(A:iX|-4- AtjX,),
si l'on adopte l'un des systèmes (9), (10) et (i i), k% elk^ étant des entiers, X| et Xj les longitudes moyennes. Quant aux coefficients B et C, ce sont des fonctions des autres variables, c'est-à-^ire des éléments osculateurs a, e, /, g -^^n, H des deux planètes, ou bien des L, des p et des w, ou bien encore des L, des \ et des yj.
Si l'on adoptait les variables (9), le développement se présenterait sous la forme
(i3) ^^' co8(A', 1*1 -\- ktUi) -T-^C sin(A:i 1*1 -i- Aritti),
où u% et u-x sont les anomalies moyennes et où B' et C sont des fonctions des éléments
Le problème consiste à déterminer ces fonctions B, C, B', C; mais on peut l'envisager de bien des manières :
i" On peut chercher à développer ces fonctions suivant les puissances des e et des /, si Ton prend les variables (9); suivant celles des p si Ton prend les variables (10); suivant celles des \ el des Tj si Ton prend les variables (11) et envisager séparément les diflerents termes du développement..
On a alors l'avantage d'obtenir des formules analytiques valables une fois pour toutes et que Ton peut appliquer ensuite à un cas particulier quelconque, pourvu que les excentricités et les inclinaisons soient assez petites.
La question qui se pose est alors celle des conditions de convergence de ces développements et c'est une de celles que nous aurons à examiner.
2" On peut se proposer seulement de déterminer, pour deux planètes particulières, les valeurs numériques de ces fonctions et de quelques-unes de leurs dérivées.
Le nombre des termes à calculer se trouve ainsi considérablement diminué, de sorte que le travail est notablement allégé, surtout si Ton ne doit pas pousser trop loin l'approximation.
A ce point de vue, la question la plus importante sera de déterminer une limite supérieure de chaque coefficient, afin de laisser de côté les termes dont le coefficient serait certainement trop petit.
3° On peut enfin étudier les propriétés analytiques de ces fonctions, en vue précisément de faciliter le calcul numérique dont il vient d'être question.
Nous verrons que ces fonctions satisfont à des équations diflerentielles linéaires, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des L, Ç et Tj, ou encore des
a, «, tang-« tang — * tang-.
A mt £
Nous verrons également qu'il y a entre ces fonctions de remarquables relations de récurrence.
213. J'ai dit que ce qui nous arrêterait le plus longtemps, c'est
LIS PROBLÂMB DE LA PONCTION PERTURBATHICE. 9
le développement de la partie de la fonction perturbatrice qui est de la forme
où
D=(x\- x[ )» -h (ari - :ri )« -f- (:r3 ^ a^i )».
Mais nous serons amenés à développer non seulement -r=) mais encore
Voici pourquoi; je suppose que les coordonnées des planètes et, par conséquent, D, dépendent d'une quantité très petite a (par exemple l'excentricité), et que nous voulions développer suivant les puissances de cette quantité a.
Soit Do ce que devient D pour a = o, et posons
D = Do-he.
INous allons d'abord chercher à développer suivant les puissances de e et il sera aisé ensuite de passer au développement suivant les puissances de %; on trouve ainsi
On voit que dans le second membre figurent non seulement -t=>
mais — => ^ • • ••
Ce n'est pas tout. Dans les équations canoniques (4 bis) et (5 bis) du n" 93, par exemple, figurent, non pas la fonction perturbatrice elle-même, mais les dérivées partielles de cette fonction.
Or, si la fonction perturbatrice contient un terme en -=> la ditte-
renliation introduira dans ses dérivées un terme en -==•
v/Dï
Supposons maintenant qu'on veuille pousser au delà de la
deuxième approximation; les seconds membres de nos équations
prendront, comme nous l'avons vu au n° 100 (t. I, p. 122), la
forme
OÙ les B seront des dérivées partielles de la fonction perturbatrice, qui cette fois ne seront plus du premier ordre, mais d'ordre quelconque, ce qui amènera, non plus seulement un terme -7=' mais
des termes en
Voilà donc deux raisons difl'érentes qui nous obligent à étudier le développement de -==-1 —r^^» en même temps que celui de -=.•
216. Reprenons les formules (12) et considérons le développement de B ou de C >uivant les puissances des excentricités et des inclinaisons. Soit m le degré de Tun quelconque des termes de ce développement.
Nous avons vu au Tome 1 que m est au moins égal à { Ati — A'a ( et de même parité que \k^ — /r2 |.
Or, si les excentricités et les inclinaisons sont petites, un terme est d'autant plus petit que son degré est plus élevé. On aura donc une bonne approximation de B ou de C en se bornant aux termes dont le degré est précisément \ki — ^2 1« L'ensemble des termes constituera ce que nous pourrons appeler la partie principale du coefficient B ou C. Il sera intéressant de chercher ce que devient la fonction perturbatrice quand on réduit chacun des coefficients de la formule (12) à sa partie principale.
Ce que nous venons de dire s'applique encore si, au lieu de développer suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons, on développe suivant celles des Ç et des y\.
217. Il arrive quelquefois qu'on est obligé, dans la fonction perturbatrice, de calculer un terme de degré élevé, sans avoir à calculer les termes de degré inférieur. En général, les coefficients des divers termes vont en décroissant très rapidement à mesure que le degré s'élève; mais il peut arriver qu'un terme dont le coefficient est très petit ait néanmoins une grande importance, parce que l'intégration introduit des petits diviseurs grâce auxquels un petit terme produit parfois une perturbation considérable.
Supposons que nous ayons, dans la fonction perturbatrice, un terme
B cos(A:iX, -H X-sX]),
