LE PROBLEME DE LA FONCTION PERTURBATRICE

Cependant les astronomes emploient plus communément les éléments elliptiques. Les équations, alors, perdent leur forme canonique. Néanmoins, ainsi que nous l'avons exposé au n" 81, les équations se présentent toujours sous la forme suivante :

Les dérivées par rapport à / des éléments elliptiques s'exprimeront linéairement à l'aide des dérivées partielles de F par rapport aux éléments elliptiques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques.

J'ajouterai que dans ces coefficients, fonctions connues des éléments elliptiques, figureront seulement les éléments

qui sont des constantes en première approximation, tandis que l'anomalie moyenne /, qui, en première approximation, varie proportionnellement au temps^ ne figurera pas.

Les équations ainsi obtenues pourront s'appeler les équations de Lagrange,

Dans le cas des variables canoniques et des équations canoniques, nous n'avons dans le second membre qu* une seule des dérivées partielles de la fonction F et elle est aflectée seulement du coefficient ±\ ou — i . Au contraire, dans le cas des variables elliptiques et des équations de Lagrange, nous avons, dans le second membre, plusieurs dérivées partielles de F et elles sont affectées d'un coefficient qui dépend lui-même des éléments elliptiques. Nous ne transcrirons pas ici les équations de Lagrange; nous nous bornerons, comme au n" 81, à renvoyer à l'Ouvrage de Tisserand (t. I, p. 187).

Tout ce que nous avons établi dans le Tome I, en nous servant des équations canoniques, aurait pu évidemment être démontré en partant des équations de Lagrange, mais les démonstrations auraient été fort allongées par la longueur des écritures, sans que rien y soit changé d'essentiel. De même, dans la pratique du calcul, l'emploi des équations canoniques épargnerait bien des longueurs, mais la diflérence ne commencerait à devenir très sensible qu'à la troisième approximation, tandis qu'on s'arrête d'ordinaire à la seconde.

Quoi qu'il en soit, il arrive que les éléments elliptiques étant

plus familiers aux astronomes et plus anciennement employés, la plupart des travaux relatifs au développement de la fonction perturbatrice ont été exécutés avec ces éléments. Il n'aurait peut-être pas été plus difficile de les faire directement en se servant des éléments canoniques, si on les avait adoptés tout d'abord. Mais aujourd'hui ce serait refaire un travail qui a déjà été fait une fois et il vaut mieux utiliser les résultats obtenus par nos devanciers.

Heureusement, comme je l'ai dit, il est aisé de passer du développement procédant suivant les éléments elliptiques à celui qui procède suivant l'un ou l'autre des systèmes d'éléments canoniques.

Nous ferons peu d'usage du premier système d'éléments canoniques; en effet, si les excentricités et les inclinaisons sont très petites, il arrive que quelques-unes des variables du deuxième el du troisième systèmes canoniques sont également très petites. La même chose n'arrive pas avec le premier système, qui est ainsi peu applicable à des méthodes d'approximation où la petitesse des excentricités et des inclinaisons joue un rôle capital.

C'est ce qui nous engage à le rejeter.

En revanche, nous serons obligés de considérer un autre système de variables elliptiques

où l'anomalie moyenne / est remplacée par l'anomalie excentrique u.

L'emploi de ces variables se prête mal à l'intégration, bien que Hansen en ait fait quelque usage. En revanche, le développement procédant suivant ces nouvelles variables est beaucoup plus facile que celui qui procède suivant les variables elliptiques ordinaires. U est aisé de passer de l'un à l'autre et c'est par l'intermédiaire du premier développement qu'il est le plus commode de parvenir au second. C'est ce qui justifie l'étude détaillée que nous ferons de ce premier développement.

Nous aurons donc à étudier quatre développements de la fonction perturbatrice procédant :

i" Suivant les variables (8) a, e, i, u, ^-1-6, 6;