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formule qui, on le remarquera, est indépendante de k.

310. La détermination des points singub'ers de la fonction ^{s) ne présente pas de difficulté; on n'a qu'à appliquer aux intégrales (3) et (4) les procédés du n" 282. Pas de difficulté non plus en ce qui concerne la nature de ces points singuliers, je me bornerai à renvoyer aux Méthodes de la Mécanique céleste y t. I, p. 322.

La difficulté provient de ce fait que tous les points singuliers ne conviennent pas et n'appartiennent pas à la branche considérée de la fonction ^{z). Nous avons vu en effet aux n"' 282 et 283 quelle

l64 . CHAPITRK XXIII.

est la condition pour qu^une singularité de la fonction ^{z) convienne. Cette singularité se présente quand deux points singuliers

de la fonction sous le signe / se confondent et, pour que la singularité convienne, il faut que ces deux points singuliers soient, avant de se confondre, de part et d'autre du contour d'intégration.

Les points singuliers qui conviennent sont dits admissibles et il nous faut choisir, si nous adoptons l'intégrale (3), -celui des points singuliers admissibles dont le module est le plus petit, et, si nous adoptons l'intégrale (4 ), celui des points singuliers admissibles dont le module est le plus voisin de i .

La discussion pour reconnaître l'admissibilité des points singuliers est assez délicate et a été jusqu'ici le principal obstacle à l'emploi de cette méthode. J'ai indiqué dans les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste les principes généraux qui permettent de faire cette discussion. Mais je n'ai appliqué ces principes qu'au cas où Tinclinaison est nulle, l'une des excentricités nulle et l'autre très petite. M. Hamy, dans le Journal de Lio avilie (1894 et 1896), a traité le même problème sans s'astreindre à la troisième condition. M. Coculesco, dans sa thèse, 1895, s'est occupé du cas où l'inclinaison est nulle, les deux excentricités petites et différentes de zéro et où la longitude du périhélie est la même. Enfin M. Féraud, dans sa thèse, 1897, a traité le cas où l'inclinaison est finie et les deux excentricités nulles; il a d'ailleurs i^trouvé les résultats de M. Hamy.

11 semble d'abord que la discussion doive être plus facile avec l'intégrale simple (4) qu'avec l'intégrale double (3); il n'en est rien, à moins que l'une des deux excentricités ne soit nulle, parce

que la fonction sous le signe / n'est pas une fonction uniforme

de /, mais possède une infinité de déterminations, de sorte que la discussion ne pourrait se faire que par la considération d'une surface de Riemann à une infinité de feuillets. Aussi, M. Féraud, en introduisant l'intégrale (3), a-t-il réalisé un sérieux progrès. Mais il faudrait faciliter la discussion des intégrales doubles et pour cela étudier les propriétés de leurs périodes. Nous avons déjà vu aux Chapitres XX et XXI l'importance que pourrait avoir celle étude.

Si, au lieu d'envisager le développement suivant les anomalies

TERMES d'ordre ÉI.RVÉ. |65

moyennes, on envisageait le développement suivant les anomalies excentriques, le problème serait considérablement simplifié. On reconnaîtrait, par exemple, que la fonction ^{z) satisfait à une équation différentielle linéaire à second membre dont les coefficients et le second membre sont des fonctions rationnelles de z.

Je n'insisterai pas davantage sur cette question, me bornant à renvoyer aux Mémoires cités et en particulier au Chapitre VI des Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste.

PIN DE LA FREMIKRK PARTIE li\: TOME II.