P. — II. II

f62 * CHAPITRE XXIII.

cercle Intérieur, .s = a; si nous supposons k positif et très grand, c'est le premier qu'il faut considérer.

Dans le voisinage de ce point, on a sensiblement

F-' = (i — a5)-*(i — a*)-*, ce qui nous donne asymptotiquement

*^*'= ^^7)''*^'""*'^~'^'• Supposons maintenant k fixe et s très grand ; soit

Alors 2^7r6ç*' sera le coefficient de p" dans le développement de l'intégrale

z^-^ dz

(.-lyp

Les points singuliers de la fonction sous le signe / nous sont

donnés par

Il faut ou que ces deux équations aient une racine commune, ce qui donnerait P = o, solution à rejeter, ou que l'une d'elles ail une racine double. Nous pouvons exclure la première qui ne dépend pas de p ; il reste la seconde, qui a une racine double si

La racine qui convient c'est (i — a)*.

Quelle est la nature de ce point singulier? Pour ^ très voisin de (i — a)2, les parties le» plus importantes de l'intégrale seront celles qui correspondent aux valeurs de z voisines de i . On a

alors sensibleme^it w=i, ^/F == i — a, de sorte que l'intégrale s'écrira sensiblement

(i — a) dz

La fonction sous le signe / est une fonction rationnelle dont il

TERMES d'ordre ÉLEVÉ. l63

faut obtenir le résidu; or ce résidu est