ACCÉLÉRATIONS SÉCULAIRES

38o. Pour étudier les accélérations séculaires, nous devons d'abord nous reporter à ce que nous avons dit au Chapitre V, n® 105, au sujet de l'invariabilité des grands axes.

Soit plus généralement un système d'équations canoniques

dxi dF dvi d¥ -, t^ «

p. étant très petit. Je distinguerai deux sortes de variables x/, que j'appellerai les x'^ et les x]\ je désignerai de même par^j. et^J les variables conjuguées des x'^ et des x^.

Je supposerai que ¥^ dépend seulement des x^ et est indépendant des a/', des y et des y ; quant à R, il dépend des quatre sortes de variables, mais il est périodique par rapport aux y et aux^. Nous supposerons en outre que R dépend directement du temps; plus précisément, nous supposerons que R est périodique par rapport aux j^, aux y et à un certain nombre d'arguments w qui sont des fonctions linéaires connues du temps.

En première approximation, on a

dx' dFo dx^ û?Fo

dt ~ dy ~ ''' dt ~ dy " ""'

dy dFo dt ~ dx'^ ^'

a:'=const., ar'= const., j^'=const.,

dy dFo

-TT = -j—r = COnSt.

dt dx

Pour la seconde approximation, nous remplacerons dans les dérivées de R les variables par les valeurs approchées que nous venons de trouver et nous aurons

dx^ dR dt ~'^'' dy'

l32 CHAPITRE XXXI.

et le second membre se présentera sous la forme d'une série trigonométrique.

En effet, R est une fonction périodique des y ^ des y" et des w ; les w sont des fonctions linéaires connues du temps, il en est de même des premières valeurs approchées des y\ quant à celles des^', ce sont des constantes.

Si nous supposons qu'il n'y a entre les -^-^ et les -^ (c'està-dire entre les moj'cns mouvements) aucune relation linéaire à coefficients entiers, les variations séculaires ne pourraient provenir que de ceux des termes de cette série trigonométrique qui sont indépendants à la fois des y et des w. Or tous ces termes disparaissent quand on diffère ntie R par rapport à y^ . Donc il n'y a pas de termes séculaires dans les x\ .

C'est là la généralisation du théorème sur l'invariabilité des grands axes.

Appliquons-le aux équations (8) du Chapitre précédent. G va jouer le rôle de F©, R celui de jjlR, les B celui des x\ les t celui des^', et enfin Ts et T4 celui des w\ nous n'aurons pas de variables analogues aux od* et aux y ^ tandis que dans les équations (5 bis^ du n" 93, Chapitre IV, les L, les \^ les p et les co jouaient respectivement le rôle des x\ des^>'', des x' et des y; en première approximation on a

^ d-z dG

at ao

£n deuxième approximation on a

dB dR dt ^ d-/

Dans le second membre on remplace les B, les y par leurs valeurs approchées qui sonl des constantes, les t, tj et t* par leurs valeurs approchées qui sont des fonctions linéaires du temps.

Ou obtient ainsi une série trigonométrique. Les termes de celle série qui sonl indépendants à la fois des t, de Tj el de T4, et d'où il pourrait résulter des variations séculaires, disparaîtront quand on dillerenliera par rapport à t, à t, ou à t,; donc les quantités B, B|, Bj n\'proi4\'t*nt aucune variât ion séculaire,