LE PROBLÈME DE LA. FONCTION PEKTURBATRICE
211. On se rappelle quel est le principe de la méthode de la variation des constantes que nous avons exposée au Chapitre IV, Tome I. On adopte comme variables indépendantes l'un des systèmes que nous avons appelés systèmes de variables képlériennes, par exemple le système des variables L, À, ç, v] {Cf. n"'^ 56, o7, 78,79).
On arrive ainsi aux équations (4 bis) du n" 93
Les fonctions Fq et F, ont été définies aux n°^ 36 et suivants; la première est très simple, la seconde est ce qu'on appelle la fonction perturbatrice.
Nous avons vu aux n"^ 83 et 99 que cette fonction peut se développer sous la forme
(2) |jiFi=: VAcos(A',A,-f-A-2X2+ A)OrL, '
dh Tt ~~
d't^ f/Fi dt ~^ d\'
d\ dFo , dFi dt ~ dh ^^ dL '
d\ dt ~
dF,
2 CHAPIIRE XIV.
OÙ A-, et ko sont des entiers, où A et h dépendent seulement des L et où ;)rL est un monôme entier par rapport aux ç et aux rj. D'après la méthode de Lagrange, il faut alors :
I" En première approximation, regarder toutes les variables képlériennes comme des constantes, sauf les X qui seront des fonctions linéaires du temps; on aura ainsi
(3) U-=hl li=^l ri, = r)y, li=.nit-^\l
On aura d'ailleurs
{Cf. n- 82 et 97).
2" En seconde approximation, remplacer les variables parleurs valeurs (3) dans toutes les dérivées partielles de F,, de sorte que les termes des équations (i) où figurent ces dérivées deviennent des fonctions connues du temps. Les équations (i ) s'intègrent alors facilement par quadratures.
3° En troisième approximation, remplacer dans les dérivées de F) les variables par leurs valeurs de seconde approximation et intégrer de nouveavi les équations (i) par quadratures, et ainsi de suite.
Généralement la seconde approximation suffit. Si l'on remplace la fonction F, par son développement (2) et qu'on procède à cette seconde approximation, on trouve tout de suite
U = Vi + y ^' A cos ( A-1 À , + k. X, + h ) 011 ,
cm
dq,-
'1/ = iQ? -+- > - sin ( kl Xi -+- X', A, -+- h )
de sorte que le problème des perturbations planétaires (au moins jusqu'à la seconde approximation inclusivement) serait entièrement résoki, si l'on connaissait le développement (2).
Or nous avons bien montré que le développement (2) est possible, mais nous n'avons pas fait voir comment on pouvait effectivement l'obtenir. Ce dernier problème, dont on comprend aisément
LE PROBLEME DE LA l'ONCTION PERTURBATRICE. 5
l'importance, va maintenant nous occuper, et je veux seulement, dans ce Chapitre, montrer sous quelles formes diverses il se présente.
212. Nous avons vu au Chapitre II que la fonction perturbatrice pou\ail être mise sous trois formes différentes qui sont celle des n"' 26 et 43, celle des n"' 30 et 38, celle du n" M.
Dans ces trois cas, nous avons décomposé la fonction perturbatrice en deux parties, la partie piinci/>al,e et la fiartie compléjnentaire.
Au n° 38, nous avons écrit la partie principale sous la forme
(4) "il
v/-^?'+ ■^'V' ^ ■^'li" V^( ^1 — ^1 )" -•- ( ^5 ^2 )'^ "*" ( ^G — ^i )'^\
au n" 4-3, de même qu'au n" 44, sous la forme
(3) — nii in,^ — •
y/f x',^ — x\ )■■» -H ( iF^ — a;', )2 -1- ( .r'g — x'.^ )'^
11 est aisé de passer d'une de ces expressions à l'autre; elles ne diffèrent en eti'et cjue du premier terme de la parenthèse (4)-
Or ce terme ne dépend que des coordonnées x\, x.^^ x\ de l'une des deux planètes fictives; le développement peut en être obtenu aisément ainsi que nous le verrons dès le Chapitre prochain.
Passons à la partie complémentaire de la fonction perturbatrice; si nous adoptons les variables du n" 30, nous avons trouvé au n" 38 l'expression de cette partie complémentaire et nous avons exposé ensuite, dans le même n'* 38-, comment on pouvait passer du développement de la partie principale à celui de la fonction perturbatrice complète, et, par conséquent, à celui de la partie complémentaire. Nous reviendrons sur ce point.
Si nous adoptons au contraire les variables du n'^ 26, la partie complémentaire a une expression plus simple et elle s'écrit comme nous l'avons vu au n" 43 :
(6) ^'^ir-} ^''^y'' -^y'-^y'-^^y-^y^ )■
Si enfin on adopte les variables usuelles, c'est-à-dire celles du n*^ 44, la partie complémentaire n'est plus la même pour les deux
planètes. Pour l'une, elle s'écrit
(y) — pjT^ (a7j :p^^ -j- ^"2 ^5 -)- ..ts J-'g ;,
et, pour l'autre,
i' OIS) ^Q3 {x^x',^-^X^X,^^X.iXf^).
Nous verrons plus loin que le développement des expressions (6), (>;), (7 èi^) est très aisé.
Le problème se trouvera donc ramené au développement de l'expression (5) et c'est cette question qui nous retiendra le plus longtemps. Nous aurons ensuite à voir comment on peut passer du développement de (5) à celui de la partie complémentaire sous ses diverses formes et quelles relations il y a entre les développements des diverses expressions (5), (6), (7), (7 bis).
213. Nous avons défini au n" o9 quatre systèmes de variables képlériennes ; ce sont :
i'' Le système des éléments ellij>tiques
2'^ Le premier système d'éléments canoniques L, G, e, Z, g, 6;
3*^ Le deuxième système d'éléments canoniques
L, Pi, X, w,-;
4° Le troisième système d'éléments canoniques
L, b. \ -rii.
Selon que l'on adoptera l'un ou l'autre de ces systèmes de variables, le développement de la fonction perturbatrice sera évidemment différent. Heureusement il est aisé de passer d'un développement à l'autre.
Si l'on adopte l'un des systèmes d'éléments canoniques comme nous l'avons fait dans tout le Tome I, on a cet avantage que les équations du problème conservent la forme canonique.
Cependant les astronomes emploient plus communément les éléments elliptiques. Les équations, alors, perdent leur forme canonique. Néanmoins, ainsi cjue nous l'avons exposé au n" 81, les équations se présentent toujours sous la forme suivante :
Les dérivées par rapport à t des éléments elliptiques s'exprimeront linéairement à l'aide des dérivées partielles de F par rapport aux éléments elliptiques, les coefficients étant des fonctions connues des éléments elliptiques.
J'ajouterai que dans ces coefficients, fonctions connues des éléments elliptiques, figureront seulement les éléments
qui sont des constantes en première approximation, tandis que l'anomalie moyenne /, qui, en première approximation, varie proportionnellement au temps, ne figurera pas.
Les équations ainsi obtenues pourront s'appeler les équations de La g range.
Dans le cas des variables canoniques et des éc|uations canoniques, nous n'avons dans le second membre qu^ une seule des dérivées partielles de la fonction F et elle est afï'ectée seulement du coefficient zb i ou — i . Au contraire, dans le cas des variables elliptiques et des équations de Lagrange, nous avons, dans le second membre, plusieurs dérivées partielles de F et elles sont alFectées d'un coefficient qui dépend lui-même des éléments elliptiques. Nous ne transcrirons pas ici les équations de Lagrange; nous nous bornerons, comme au n" 81, à renvoyer à l'Ouvrage de Tisserand (t. 1, p. 187).
Tout ce que nous avons établi dans le Tome 1, en nous servant des équations canoniques, aurait pu évidemment être démontré en partant des équations de Lagrange, mais les démonstrations auraient été fort allongées par la longueur des écritures, sans que rien y soit changé d'essentiel. De même, dans la pratique du calcul, l'emploi des équations canoniques épargnerait bien des longueurs, mais la dilïérence ne commencerait à devenir très sensible qu'à la troisième approximation, tandis qu'on s'arrête d'ordinaire à la seconde.
Quoi qu'il en soit, il arrive que les éléments elliptiques étant
plus familiers aux astronomes et plus anciennement employés, la plupart des travaux relatifs au développement de la fonction perturbatrice ont été exécutés avec ces éléments. 11 n'aurait peut-être pas été plus difficile de les faire directement en se servant des éléments canoniques, si on les avait adoptés tout d'abord. Mais aujourd'hui ce serait refaire un travail qui a déjà été fait une fois et il vaut mieux utiliser les résultats obtenus par nos devanciers.
Heureusement, comme je l'ai dit, il est aisé de passer du développement procédant suivant les éléments elliptiques à celui qui procède suivant l'un ou l'autre des systèmes d'éléments canoniques.
Nous ferons peu d'usage du premier système d'éléments canoniques; en effet, si les excentricités et les inclinaisons sont très petites, il arrive que quelques-unes des variables du deuxième et du troisième systèmes canoniques sont également très petites. La même chose n'arrive pas avec le premier système, qui est ainsi peu applicable à des méthodes d'approximation où la petitesse des excentricités et des inclinaisons joue un rôle capital.
C'est ce qui nous engage à le rejeter.
En revanche, nous serons obligés de considérer un autre système de variables elliptiques
OÙ l'anomalie moyenne / est remplacée par l'anomalie excentrique u.
L'emploi de ces variables se prête mal à l'intégration, bien que Hansen en ait fait quelque usage. En revanche, le développement procédant suivant ces nouvelles variables est beaucoup plus facile que celui qui procède suivant les variables elliptiques ordinaires. Il est aisé de passer de l'un à l'autre et c'est par l'intermédiaire du premier développement qu'il est le plus commode de parvenir au second. C'est ce qui justifie l'étude détaillée que nous ferons de ce premier développement.
Nous aurons donc à étudier quatre développements de la fonction perturbatrice procédant ;
i" Suivant les variables
