LE PROBLÈME DK LA FONCTION PERTURBATRICE

2" Suivant les variables elliptiques

ou, si l'on aime mieux, puisque

suivant les variables elliptiques

3" Suivant les variables canoniques

4*^ Suivant les variables canoniques (il) , L, ^i, X, 7]/,

et nous aurons principalement à rechercher comment on peut passer d'un de ces développements à un autre.

214. La fonction perturbatrice va donc se développer sous la forme

(i2) \^ B cos(A'iXi-t- A'îXï) + \ G sin(/ciXi-h /loÀs),

si l'on adopte l'un des systèmes (9), (10) et (i i), A^i et /to étant des entiers, X, et Xj les longitudes moyennes. Quant aux coefficients B et G, ce sont des fonctions des autres variables, c'est-à-dire des éléments osculateurs a, e, /, g -\- 9, G des deux planètes, ou bien des L, des p et des co, ou bien encore des L, des ^ et des yi.

Si l'on adoptait les variables (9), le développement se présenterait sous la forme

(i3) ^^' cos(/fi «1 -+- ^2 M2) -i- ^ G' sin(A-i i<i -f- k^ u-î),

où Ui et u-, sont les anomalies moyennes et où B' et G' sont des fonctions des éléments

Le problème consiste à déterminer ces fonctions B, C, B', C; mais on peut l'envisager de bien des manières :

i" On peut chercher à développer ces fonctions suivant les puissances des e et des i, si l'on prend les variables (9); suivant celles des p si l'on prend les variables (10); suivant celles des \ et des 7; si l'on prend les variables (11) et envisager séparément les différents termes du développement.

On a alors l'avantage d'obtenir des formules analjticjues valables une fois pour toutes et c[ue l'on peut appliquer ensuite à un cas particulier c|uelconc[ue, pourvu c|ue les excentricités et les inclinaisons soient assez petites.

La question qui se pose est alors celle des conditions de convergence de ces développements et c'est une de celles c|ue nous aurons à examiner.

2" On peut se proposer seulement de déterminer, pour deux planètes particulières, les valeurs numéricjues de ces fonctions et de quelc[ues-unes de leurs dérivées.

Le nombre des termes à calculer se trouve ainsi considérablement diminué, de sorte que le travail est notablement allégé, surtout si l'on ne doit pas pousser trop loin l'approximation.

A ce point de vue, la cj[uestion la plus importante sera de déterminer une limite supérieure de chacpie coefficient, afin de laisser de côté les termes dont le coefficient serait certainement trop petit.

3° On peut enfin étudier les propriétés analeptiques de ces fonctions, en vue précisément de faciliter le calcul numérique dont il vient d'être question.

Nous verrons cpie ces fonctions satisfont à des écpiations différentielles linéaires, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des L, ç et ri, ou encore des

iNous verrons également qu'il y a entre ces fonctions de remarquables relations de récurrence.

^lo. J'ai dit que ce qui nous arrêterait le plus longtemps, c'est