Considérons maintenant une intégrale double
ï{(ar,y,z)dxdy,
ff^
envisagée comme fonction du paramètre z et étendue à un champ quelconque.
Le cas particulier le plus simple est celui où l'on doit intégrer par rapport à x^ le long d'un contour fixe indépendant dey, et par rapport à r, le long d'un contour fixe indépendant de x. C'est précisément ce cas particulier simple que l'on rencontre en ce qui concerne les intégrales (i) et (2).
Ici, en effet, les deux contours C.r et Cj indépendants, le premier de )', le second de x, sont deux circonférences de centre zéro et de rayon i , le premier dans le plan des x, le second dans le plan des y.
Soient donc C^ et Cy les deux contours fixes d'intégration par rapport k x el à. y. Soit
l'intégrale étant prise le long de C^.
Notre intégrale double sera alors
■q(z) = I Q{v,z)dy, l'intégrale étant prise le long de Cj.
CONVJiRGENCE DES ï^ÉRIES. Io3
Nous n'avons plus qu'à aj3pliquer les principes du numéro précédent aux deux intégrales simples
Tr dx, Te dy.
jNous devons observer toutefois que nous risquons de n'obtenir ainsi que des conditions nécessaires et pas suffisantes. En effet, nous avons observé plus haut que toutes les valeurs critiques ne conviennent pas.
On obtiendra d'autres conditions également nécessaires en changeant de coordonnées, et en particulier en permutant .c et j^, c'està-dire en intervertissant l'ordre des intégrations.
Soit
l'équation qui exprime cpie la fonction R a une singularité. Décomposons cette équation en équations irréductibles
(3) cp,(a7,7, S) = o, cp.,(^, j,-) = o, t^^{x,y,z) = o.
On obtiendra les singularités de la fonction 9(jKi ^) •
i" En annulant deux des fonctions cp,, .pi, 'fs et écrivant, par exemple,
Cp,(a7, 7,5) = Cp2(a7,j, 2) = O;
2" En annulant une des trois fonctions et sa dérivée et écrivant
?^= dx=''-
Ces singularités peuvent ne pas toutes convenir, car il peut arriver que les deux points singuliers, qui se confondent, soient d'un même côté du contour d'intégration.
Pour avoir les singularités de r, (s), considérons maintenant celles de ^{y-, 3), qui nous seront données par des systèmes d'équations de l'une des deux formes
cp, = '^, = o,
et cherchons les conditions pour que deux de ces singularités se confondent.
Si nous considéi'ons z comme un paramètre, x et jk comme les coordonnées d'un point dans un plan, les équations (3) représentent un rei^tain nombre de courbes planes.
Les singularités de 9 données par un système d'équations de la forme
Ci 1 ^ ©2=0
correspondront aux points d'intersection de ces courbes; celles qui seront données par un système de la forme
©l = -ji- = o ' dx
correspondront aux points de contact d'une de ces courbes avec une tangente parallèle à l'axe des j'^.
Pour que deux de ces singularités se confondent, il faut :
i" Ou bien que trois des fonctions o s'annulent à la fois
Oj ^rr Cûo = 0;j =: O ;
2° Ou bien que l'on ait à la fois
cci =; - '— = o. tc« = o;
' dx
mais, comme la condition ne doit pas dépendre du choix des coordonnées, et qu'en particulier elle doit subsister quand on permute X et j', on devra avoir aussi
©1 = —f— = o. cp--) = o dx ' "
et, par conséquent,
d'j^i do\ ^^ dx dy
ce qui veut dire que l'une des courbes (3) aura un point double; 3" Ou bien que les deux courbes
cpi = o, Cp9 = o
soient tangentes l'une à l'autre ;
4° Ou enfin que les deux courbes
fi
CONVERGENCE DES SERIES. [o5
soient tangentes l'une à l'autre. Mais cela entraîne : ou bien
ou bien -j-^ = o; mais, comme la condition ne doit pas changer quand on permute x el y, on devra avoir dans tous les cas
' dx dy
En résumé, les valeurs critiques de z sont :
1° Celles pour lescpielles trois des courbes (3) se coupent en un même point;
2" Celles pour lesquelles deux de ces courbes sont tangentes; 3° Celles pour lesfjuelles une de ces courbes-a un point double.
Seulement toutes ces valeurs peuvent ne pas convenir, car les deux singularités qui se confondent peuvent être situées dun même côté du contour d'intégration.
Et d'ailleurs nous avons vu que nos conditions ne sont que nécessaires.
283. Appliquons ces principes aux intégrales (i) et (a). La fonction sous le signe / sera holomorplie tant par rapport à x et y
que par rapport aux excentricités e et e' et à sin-j J étant l'inclinaison.
Il y aura exception seulement :
1° Si e = I et e'^i (condition où x et j' n'interviennent pas et sur laquelle nous reviendrons); 2" Si X ou j' est nul ou infini ; 3" Si il s'annule, c'est-à-dire si
qui est un polynôme entier du sixième ordre en x^ y, est égal à zéro.
Cela est vrai cjuels que soient les entiers m et m'; cela est vrai
Io6 CHAPITRE XX.
d'ailleurs aussi bien de l'inlégrale (2) que de l'intégrale (i), car
Q et E!-^
ne cessent d'être holomorphes que si a: oujv est nul ou infini. Les courbes qui correspondent aux courbes (3), c'est-à-dire
celles dont les équations expriment que la fonction sous le signe /
cesse d'être holomorphe, se réduisent donc, en ce qui concerne les intégrales (i) et (2), aux quatre droites
(4) 37 = 0, y = o, cr = cc^ y z^ Tc
et à la courbe du sixième degré
(4 bis) R = o.
Cette dernière, dans le cas où l'inclinaison est nulle, se décompose en deux courbes du troisième degré
(4 ^e/') Ri = 0, R2 = o.
Pour trouver les valeurs critiques des excentricités ou des inclinaisons, nous devons donc chercher celles pour lesquelles trois des courbes (4) ou (4 bis) se coupent, ou pour lesquelles deux de ces courbes se touchent, ou pour lesquelles une de ces courbes a un point double.
Mais, comme ces courbes sont les mêmes pour les intégrales (i) et (2), les valeurs pour lesquelles une de ces trois circonstances se présentera seront également les mêmes pour les intégrales (i) et (2).
Ainsi les valeurs critiques des excentricités ou des inclinaisons sont les mêmes pour les deux intégrales (i) et (2).
Mais une question pourrait encore se poser; nous avons vu que toutes les valeurs critiques ne conviennent pas. Ne pourrait-il se faire qu'une de ces valeurs convînt à (i) sans convenir à (2) ou inversement.
La réponse doit être négative. Comment se fait-il, en effet, que certaines valeurs critiques conviennent et que d'autres ne conviennent pas? Pour nous en rendre compte, faisons varier d'une manière continue l'un de nos paramètres, par exemple l'excentricité e, et, en même temps, déformons d'une manière continue les contours d'intégration. Nous devons diriger cette déformation de
