CONVERGENCE DES SÉRIKS. IO
telle sorte qu'aucune des valeurs singulières définies par les équations (4) et (4 bis) ne se trouve dans le champ d'intégration. Si, e variant dune manière continue depuis zéro jusqu'à e^^ on peut s'arranger de façon que cette condition ne cesse jamais d'être remplie, c'est que e^ n'est pas une véritable valeur critique; ^o ne convient pas; si, au contraire, il est impossible de s'arranger pour que la condition soit remplie (parce que, comme je l'expliquais plus haut, le contour d'intégration se trouve pris entre deux points singuliers), c'est que Co est une véritable valeur critique; ^o convient.
Faisons donc varier e de zéro à ^o et, en même temps, déformons nos contours d'intégration en partant des contours initiaux
qui sont les mêmes pour les intégrales (i) et (2); si eo ne convient pas à l'intégrale (i), c'est que nous pouvons déformer nos contours de telle façon qu'à aucun moment une des valeurs singulières satisfaisant aux équations (4) et (4 bis) ne se trouve dans le champ d'intégration. Mais, si cette condition ne cesse jamais d'être remplie en ce qui concerne l'intégrale (i), elle ne cessera jamais non plus de l'être en ce qui concerne l'intégrale (2), puisque les équations (4) et (4 bis) qui définissent les valeurs singulières sont les mêmes pour (i) et pour (2). Donc e^ ne conviendra pas non plus à l'intégrale (2). c. q. f. d.
Voici donc un premier résultat.
Les coefficients ï^m.m' du développement de la fonction perturbatrice suivant les anomalies excentriques, ainsi que les coejjicienis P^m^m' du développement suivant les anomalies moyennes sont eux-mêmes développables suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons.
Les limites de convergence de ces nouveaux développements sont les mêmes pour les coefficients ^m' ni et pour les coefficients P^m'm'\ elles sont les mêmes pour tous ces coeffiicients quels que soient les entiers m et m' .
284. iNous examinerons spécialement le cas où les excentricités sont nulles et celui où l'inclinaison est nulle.
Io8 CHAPITRK XX.
Dans le cas où les excentricités sont nulles, il n'j a plus à faire de distinction entre les anomalies excentriques et les anomalies moyennes, de sorte que
^iniii' — ^inm' — / i I I / *
Cette dei^nière intégrale peut encore s'écrire
d.r dy
fj
ou bien en posant comme- au n° 2o9
ce s = — , w = ccy,
nous pouvons encore l'écrire
1 r r dz dw 1 r r dz dw
■2,1 J T"'j->"'^-\ " ij J ZPWP'\
en posant
Quand x et 7^ décrivent chacun dans leur plan des circonférences de rayon i , ^ et (v font de même: mais, à chaque couple de valeurs de z et iv situées sur ces circonférences, correspondent deux couples de valeurs de x et de >'; on obtient donc deux fois l'intégrale, de sorte que, finalement, nous pourrons écrire
l'intégration étant étendue, tant pour z que pour (v, à une circonféience de rayon i ayant son centre à l'origine, de telle façon que
Il sera plus commode d'opérer sur l'intégrale (5) que sur l'intégrale (1). Nous avons alors
A- ^ « - -(- a - -r- [J. aa s H I -l- v aa 1 w h
CONVERGENCE DliS SEKIES. 1 OQ
Nos courbes singulières sont alors
Z = O, HP = O, 3 = 00, pp ^ 00, A- = o.
Nous devons alors chercher la condition pour que trois de ces courbes se coupent en un même point, ou pour que deux d'entre elles se louchent, ou pour que l'une ait un point double.
Nous n'avons pas à nous inquiéter de la première condition, la courbe A-^ o passe toujours par l'origine; or, pour qu'une fonction définie par une intégrale définie présente un point singulier,
il faut que deux points singuliers de la fonction sous le signe /
primitivement séparés y'\ev\nenl à se confondre; c'est-à-dire, par exemple, que trois courbes singulières qui primitivement ne passaient pas par un même point viennent à passer par un même point. Ce n'est pas ici le cas, puisque les trois courbes A- = o, 5 = o, w ^ o passent toujours par un même point.
De même la courbe A2= o passe toujours par les points
^ ^ o, cv ^ 00 ; s = 00, w = o: 2 = (v = oo,
de sorte que nous n'avons pas à nous inquiéter de cette condition. Pour que 3 = 0 ou 5 = 00 touche A^ ^ o, il faut que
jjiaa' = o soit jjl = o.
Pour que (V ^ o, ou <v ^ 00 touche A- = o, il faut que yaa' = o soit v = o.
Pour que A- = o ait un point double, il faut
<iA2 rfA2
c'est-à-dire
dw dz
et
(6) a^-i- a'-± 2[i.«a'± 2vaa' = o.
285. Examinons de plus près ces résultats. Nous verrons d'abord que les solutions [j. =: o ou v = o ne pouvaient convenir à la question. Supposons, en effet, d'abord que, remplaçant [j. par i — v, on développe suivant les puissances de v. Si la valeur v= o était
un véritable point singulier pour la branche de la fonction considérée, le développement suivant les puissances de v serait toujours divergent; or nous savons qu'il n'en est pas ainsi.
Si la valeur a = o ou v = i était un point singulier, nous dexrions en conclure que la série diverge dès que |v|>-i, mais nous n'aurions pas à nous inquiéter de cette conséquence puisque v est toujours <C i .
Supposons maintenant que l'on développe suivant les puissances de 'J. et V regardées comme des variables indépendantes: si u. = o, ou bien v^o était un véritable point singulier pour la branche de fonction considérée, le développement serait toujours divergent, et nous savons qu'il n'en est pas ainsi et que le développement converge pourvu que u. et v soient assez petits.
Il est aisé d'ailleurs de constater que, pour les petites valeurs de u et V, les points singuliers qui se confondent pour v = o, par exemple, sont tous deux intérieurs, ou tous deux extérieurs au contour d'intégration. On pourrait toutefois se demander s'il en serait encore de même pour des valeurs plus grandes de [jl. Mais la réponse est aisée; si les deux points singuliers sont tous deux intérieurs au contour pour jj. petit, puis que nous fassions varier [j. d'une manière continue, les deux points singuliers A et B et le contour varieront aussi dune manière continue, mais ces deux points ne pourront cesser d'être intérieurs au contour que si l'un d eux, A par exemple, franchit le contour; mais alors, nous pourrons toujours faire /m/v' le contour devant le point A, à moins que ce point A ne se confonde avec un autre point singulier C primitivement extérieur au contour, difierent par conséquent du point B. Mais alors la convergence cesserait déjà par suite de la coïncidence des points A et G. On n'a donc pas à s'inquiéter de la coïncidence possible des points A et B puisqu'elle ne pourrait amener une singularité de notre fonction, qu'après que la convergence aurait déjà cessé pour d'autres causes.
Ainsi les points singuliers jj. ^ o, v = o ne conviennent pas à la branche de fonction considérée; nous devons ajouter qu'ils pourraient convenir à d'autres branches de la fonction qui seraient définies par lintégrale (5) étendue à d'autres contours que celui qui est détini par les deux équations
CONVEHGENCK DKS SERIES. III
286. Pour la branche étudiée, nous n'avons donc à nous préoccuper que de la condition (6).
Posons V ^ sin- - et proposons-nous de développer suivant les
puissances croissantes de v. La condition (5) devient
a- -+- a'- -T- 2 aci [ ± ( i — v ) ±: v ] = o, ce qui peut s'écrire de l'une des deux manières suivantes
{5 bis) (a'±<2)2=o; a'^^ a'-± laa' (i — 2v ) = o.
Dans la première de ces relations v n'entre pas; la seconde
donne
^^ (a'± ay^ 4 cta'
Le rayon de convergence sera donc la plus petite des deux
valeurs
I {a'±ay
1 4 <^<^ c'est-à-dire
(a'— a)- \aa'
Ainsi la condilion de convergence du développement sera
. J ^ {a' — a)sin^- < — ;— .
2 ^aa
La discussion des équations (5 bis) montrerait de même que les
coefficients h^m^jn sont développables suivant les puissances de a,
pourvu que
Considérons maintenant jj. et v comme des variables indépendantes et développons suivant les puissances de a et v.
La relation (6), qui définit les limites de convergence, sécrit
alors
a- -H a'- =iz 2 aa \x ± % aà v = o .ou
a- -^- ci-
2rtrt'
La condition de convergence du développement est donc
2 CHAPlTRIi XX.
Cette condition est toujours remplie, car on a
Nos coefficients sont donc toujours développât les suivant les puissances de cos- - et sm- -•
Nous avons donné, au n° 'âTO, un développement qui procède suivant les puissances de
c'est le développement (28) du Chapitre XVIII. D'après ce qui précède, ce développement converge pourvu que
va
Or, comme u, v et a sont essentiellement positifs et plus petits
que I, que est, par conséquent, plus petit que - et que
p. H- V = I , on aura
[aa
va
La condition de convergence sera donc toujours remplie.
Du développement (28) du Chapitre VIII on passerait aisément au développement (27) qui procède suivant les puissances de a, u. etv, il suffirait de développer chaque terme en
fjia
suivant les puissances de a, ce qui est possible pourvu que a ■< i . Comme cette condition est toujours remplie, le développement (27) converge toujours.
'287. Considérons maintenant le cas particulier où l'inclinaison est nulle et développons suivant les puissances des excentricités e et e' .
CONVERGENCE DKS SÉRIES. Il3
Les courbes qui correspondent aux courbes (3) sont les courbes (4) et (4 ^er), à savoir
X = o, y = o, X = <x, j = co, Ri = O, Rj = o.
1° Cherchons d'abord la condition pour que R, := o ait un point double. Pour nous en rendre compte, cherchons la signification de ces équations. Soient C l'orbite de la première planète, O celle de la seconde; d'après notre hjpothèse ces deux coniques sont dans un même plan. A chaque valeur de x correspond un point M de la conique G et à chaque valeur de y un point M' de la conique G'.
L'équation R z= o exprime alors que la distance MM' est nulle, ce qui peut ne pas vouloir dire que les deux points M et M' coïncident puisque ces deux points peuvent être imaginaires.
L'équation R, =: o exprime que le coefficient angulaire de la droite MM' est égal à \/ — i et l'équation Ro= o exprime que ce coefficient est égal à — y/ — i .
Les équations ^ = o, x = oo expriment que le point M est à l'infini sur l'une des deux branches infinies de la conique G; les équations y=o, j/ = co expriment que le point M' est à l'infini sur la conique G'.
Pour que la courbe R, == o ait un point double, il faut et il suffit que la droite MM' soit tangente à la fois aux deux coniques G et G'. Les deux coniques G et G' ont un fojer commun, le Soleil. La droite MM', qui est une tangente isotrope à G, doit passer par un des fojers de G, et pour la même raison elle doit passer par un des foyers de G'. Soient alors S le foyer commun de G et G', R le second foyer de G, R' celui de G'.
Pour que les deux coniques admettent une tangente isotrope commune (en dehors de celle qui passe par S qui existe toujours et qui ne saurait convenir), il faut donc que la droite MM' passe par R et R'; c'est-à-dire que la droite RR' ait pour coefficient
angulaire ^ — i. Gette condition s'exprime analytiquement comme
il suit :
ae E-'CJ = a' e' E-'^'.
Je représente par to et m' les longitudes des périhélies. G'est là la condition pour que R, = o ait un point double (en P. — II. 8
Il4 CHAPITRK XX.
dehors de celui qui, corresjiondant à la tangente isotrope passant par S, existe toujours et ne savirait convenir).
2° De même la condition pour que R.i = o ait un point double
s'écrit
aeE^^ = a' e' E'^'.
3" Pour que les deux courbes R, = o, Ro= o soient tangentes, il faut que les deux coniques C et G se touchent; car les points d'intersection à distance finie des deux courbes R, = o, R2=o correspondent aux quatre points d'intersection des deux coniques.
11 faut donc que la distance des deux foyers R et R' soit égale à la somme ou à la différence des grands axes; ce qui s'écrit
{aeE^^ — a' e'E'^' ) (aeE-'^— a' e'E-^^") = {a'± a)^.
4" Il faut voir ensuite si l'un des points d'intersection des courbes (4 ter) ne peut pas se confondre avec l'un des points d'intersection de l'une de ces courbes avec l'une des droites (4) ou de deux de ces droites entre elles.
Ces deux catégories de points correspondent respectivement : aux quatre intersections de G et de C (M et M' confondus) et aux cas où les deux points M et M' sont à l'infini sur les deux coniques G et G'.
La condition est donc que l'une des quatre intersections de G et de G' s'éloigne indéfiniment, c'est-à-dire qu'une asymptote de G soit parallèle à une asymptote de G'.
Gela s'écrit d'une des quatre manières
tana;- - E^'w = tans:- — E'^'^ ,
cp es'
cot- -^ E"-"^ = tans^^ -^ E^'^^ , 2 " 2 '
CD 'il
en posant
cot- -!- E--i^ = tano2 -^ E-^'^^',
e =; sino, e = siri'Xi .
Je puis écrire aussi
^ - E'^'CT = L____E2'r^,
CONVERGENCE DES SÉRIES. Il5
en prenant dans chaque fraction le signe inférieur dans les deux termes ou le signe supérieur dans les deux termes.
Voici donc quelles sont les équations qui définissent les valeurs critiques
(7) aeE-i^ = a' e'E-^^',
(8) aeE''^= a' e' Ei^\
(9) {aeE'^— a' e'E'^' ) (aeE-'^— a'e'E-^^') = (a'± a)^,
(10) E-^'^= FJ^^ ,
I rp v/i — ^' I H= /i — ë''
auxquelles il convient d'adjoindre
Mais nous avons vu que toutes les valeurs ainsi trouvées peuvent ne pas convenir et il est même aisé de voir qu'elles ne peuvent pas toutes convenir.
En efï'et, envisageons l'équation (7) ; elle est satisfaite pour
Si donc les valeurs critiques définies par cette équation convenaient, notre fonction présenterait des singularités pour des valeurs très petites deeete'. Nos coefficients ne seraient pas développables suivant les puissances de e et de e', même pour des valeurs très petites de ces quantités. Nous savons qu'il n'en est pas ainsi. Donc les valeurs définies par l'équation (■7) ne sauraient convenir.
Le même raisonnement s'applique aux équations (8) et (10). Il importe de remarquer que l'équation (10), malgré la présence des doubles signes, ne représente qu'une seule équation analytique irréductible qui prendrait sa forme algébrique si l'on chassait les radicaux. Cette équation irréductible est satisfaite pour e = e'= o.
Restent les équations (9) et (i i). Pour trouver la limite de convergence définie par l'équation (9), remarquons que r^, a', m et m' sont des données de la question et sont réelles, mais que e et e' C[ui sont nos variables indépendantes pourront prendre des valeurs imaginaires.
Donnons à e une série de valeurs de module constant \e |, mais
J l6 CHAPITRE XX.
d'argument variable; faisons de même pour e' . Le maximum du module du premier membre de (9) est
a-\e^ \-\- a'- \ e'- 1 -+- 1 aa! \ ee' cos (m — ^' ) | ;
la condition de convergence est donc
a- I e^ I -H a'2 I e"'- \ -i- laa! \ ee cos(nT — cr') | < (a' — a)2.
Nous sommes ainsi conduits à supposer que les seules conditions de convergence de notre développement sont
\ a^ I e2 I -f- a'2 1 e'- | -1- laa \ ee' cos{ tu — tu' ) | < (a' — a)^.
Je ne voudrais pas entrer dans trop de détails ; je ne puis cependant me contenter d'un aperçu : il faut donc que j'explique en quelques mots comment on peut donner à la démonstration toute sa rigueur.
Considérons le domaine D défini par les inégalités (12). Il ne contient pas de valeurs singulières satisfaisant aux équations (9) et(i i). Mais il en contient qui satisfont aux équations (^), (8), (10). Si l'une de ces valeurs convenait, il en serait de même de toutescelles qui satisferaient à la même équation et qu'on pourrait rencontrer en faisant varier e et é d'une manière continue et sans cesser de satisfaire à cette équation. Cela serait vrai au moins en ce qui concerne la détermination de la fonction que l'on atteindrait par cette variation continue.
Or on verrait qu'on peut atteindre, par une variation continue, une quelconque des valeurs singulières qui satisfont aux équations (7), (8), (10) et aux inégalités (12) en partant de la valeur e = o, e'=:o et sans cesser de satisfaire à ces écjuations et sans sortir du domaine D. La valeur singulière e = o, e'=:o ne convenant pas, aucune de ces valeurs ne convient.
Les conditions (12) sont donc les seules conditions de convergence.
La troisième condition (12) sera satisfaite quels que soient m
et cj', si l'on a
\ ae\ -\- \ a' e' \ <i a' — a,
