LE PROBLEME DE LA FONCTION PERTURBATRICE. I I

et que les entiers A", et k-, soient très grands, mais de telle façon que le rapport — ^ soit voisin du rapport des moyens mouvements—• Alors la dilFérence | A) — A o 1 et, par conséquent, le

degré du terme, seront très élevés; le coefficient B sera, par conséquent, très petit, mais, en revanche, le petit diviseur /:, Jif + A"2/Î2 sera également très petit, de sorte que, finalement, la perturbation pourra être très notable.

Le calcul exact du coefficient B serait alors très long, parce qu'il exigerait le calcul préalable des termes précédents qui ne sont pas directement utiles. On peut l'éviter, en se servant des formules approchées applicaiiles seulement aux termes de degré élevé et fondées sur les propriétés des fonctions de très grands nombres, soit que ces formules donnent d'emblée une approximation suffisante, soit qu'elles permettent seulement de reconnaître si le terme en question est sensible, et si, par conséquent, on doit prendre la peine de le calculer e^^actement.

218. Nous aurons à examiner spécialement différents cas particuliers, dont les principaux sont :

1" Celui où les excentricités et les inclinaisons sont nulles;

2° Celui où les excentricités seulement sont nulles; dans ces deux cas, la distinction entre l'anomalie moyenne et l'anomalie excentrique et, par conséquent, entre les deux développements (12) et (i3), n'a plus de raison d'être;

3° Celui où les inclinaisons sont nulles.

Un autre cas particulier qui méritera notre attention est celui de la Lune; le rapport des grands axes étant alors très petit, on a avantage à développer suivant les puissances de ce rapport, et il en résulte une forme particulière du développement.

J'ajoute que les théories de la Lune étant très nombreuses, les formes de développement qui ont été proposées dans le cas de cet astre le sont également, et nous aurons sans doute l'occasion d'en dire quelques mots.

^IQ. Nous avons déjà eu l'occasion, outre le développement (12)

12 CHAPITHE XIV.

qui procède suivant les anomalies moyennes, d'envisager le développement (r3) qui procède suivant les anomalies excentriques.

Ce dernier développement a été employé par Hansen, qui s'est aussi servi de développements procédant suivant l'anomalie excentrique de l'une des planètes et l'anomalie moyenne de l'autre.

D'autre part, Gyldèn a employé des développements procédant suivant les anomalies vraies.

Quand on prend, comme l'ont fait ces astronomes, pour variable indépendante l'anomalie, soit vraie, soit excentrique, de l'une des planètes, on est obligé à certaines transformations souvent assez longues et compliquées.

En elFet, il y a entre les anomalies vraie et excentrique d'une planète et l'anomalie moyenne de cette même planète des relations assez simples et bien connues. D'autre part, les anomalies moyennes des deux planètes sont liées par une relation linéaire.

Au contraire, la relation qui lie les deux anomalies excentriques (ou bien encore celle cjui lie les deux anomalies vraies) est comparativement compliquée.

Si donc, on a développé la fonction perturbatrice suivant les deux anomalies excentriques (ou vraies) et qu'on veuille ensuite tout exprimer à l'aide de la variable indépendante qui sera l'anomalie excentrique (ou vraie) de l'une des deux planètes, il faut remplacer, dans le développement, la seconde anomalie excentrique (ou vraie) par son expression en fonction de la première, et cela donne lieu à des difficultés de calcul dont nous dirons quelcjues mots.

!2l20. Dans les équations canoniques, ce n'est pas la fonction perturbatrice qui figure directement, mais ses dérivées partielles du premier ordre. C'est donc le développement de ces dérivées C[ui serait surtout intéressant.

Quand le développement de la fonction perturbatrice est donné sous la foruie analytique, et surtout sous la forme d'une série procédant suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons, ou suivant celles des i et des t,, on passe immédiatement d'un développement à l'autre.

Mais il n'en est pas de même quand on s'est borné à déterminer

LE PROBLÈME DE LA FONCTION PERTURBATRICE. l3

la valeur numérique des coelïîcients, comme nous l'avons expliqué au n° 214; il faut alors recommencer le travail pour chacune des dérivées.

C'est ce qui a amené certains astronomes à préférer aux équations canoniques ou même à celles de Lagrange une autre forme d'équations. Ils ont remarqué en effet que ces dérivées partielles sont au nombre de six ; on peut au contraire former des équations dans les seconds membres desquelles figurent, non les six dérivées partielles de la fonction perturbatrice, mais les trois composantes de la force perturbatrice, soit suivant les trois axes de coordonnées, soit suivant le rayon vecteur et deux perpendiculaires à ce rayon. Tune dans le plan de l'orbite, l'autre perpendiculaire à ce plan. On n'a plus alors à faire que trois développements au lieu de six.

C'est qu'en effet les six dérivées partielles ne sont pas indépendantes; il y a, entre elles et la fonction perturbatrice elles-même, certaines relations, il y en a encore entre ces dérivées et les trois composantes de la force, prises de l'une des deux manières que je viens de dire.

On peut donc se proposer de former ces relations et de montrer comment on peut s'en servir pour déduire tous les développements de l'un d'entre eux, par exemple de celui de la fonction perturbatrice.

Cette revue rapide montre sous combien de faces différentes peut se présenter le problème du développement de la fonction perturbatrice qui va faire l'objet des Chapitres suivants.