LE PROBLEME DE LA FONCTION' PERTURBATIUCE

le développement de la partie de la fonction perturbatrice qui est

de la forme

Tïï'

où

Mais nous serons amenés à développer non seulement ——■, mais

encore

Voici pourquoi; je suppose que les coordonnées des planètes et, par conséquent, D, dépendent d'une quantité très petite a (par exemple l'excentricité), et que nous voulions développer suivant les puissances de cette quantité a.

Soit Do ce que devient D pour a ^ o, et posons

INous allons d'abord chercher à développer suivant les puissances de £ et il sera aisé ensuite de passer au développement suivant les puissances de a; on trouve ainsi

On voit que dans le second membre figurent non seulement —=,

/Do I I

mais -— = , -—z^ , . . . .

./Dg v/D,s

Ce n'est pas tout. Dans les équations canoniques (4 bis) et (5 bis) du n" 93, par exemple, figurent, non pas la fonction perturbatrice elle-même, mais les dérivées partielles de cette fonction.

Or, si la fonction perturbatrice contient un terme en — =, la di(l'é-

rentiation introduira dans ses dérivées un terme en

Supposons maintenant qu'on veuille pousser au delà de la deuxième approximation; les seconds membres de nos équations prendront, comme nous l'avons vu au n° 100 (t. I, p. 122), la forme

OÙ les B seront des dérivées partielles de la fonction perturbatrice, qui cette fois ne seront plus du premier ordre, mais d'ordre quel-

conque, ce qui amènera, non plus seulement un terme —=> mais

des termes en —^i • • • •

v/Ds

Voilà donc deux raisons différentes qui nous obligent à étudier le développement de — r:^» — ^' en même temps que celui de -— •

216. Reprenons les formules (12) et considérons le développement de B ou de C suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons. Soil m le degré de l'un quelconque des termes de ce développement.

Nous avons vu au Tome l que m est au moins égal à \k^ — ki\ et de même parité que [ k^ — /'2 |-

Or, si les excentricités et les inclinaisons sont petites, un terme est d'autant plus petit que son degré est plus élevé. On aura donc une bonne approximation de B ou de C en se bornant aux termes dont le degré est précisément \k\ — k--x\. L'ensemble des termes constituera ce que nous pourrons appeler la partie principale du coefficient B ou C. Il sera intéressant de chercher ce que devient la fonction perturbatrice quand on réduit chacun des coefficients de la formule (12) à sa partie principale.

Ce que nous venons de dire s'applique encore si, au lieu de développer suivant les puissances des excentricités et des inclinaisons, on développe suivant celles des \ et des t).

217. Il arrive quelquefois qu'on est obligé, dans la fonction perturbatrice, de calculer un terme de degré élevé, sans avoir à calculer les termes de degré inférieur. En général, les coefficients des divers termes vont en décroissant très rapidement à mesure que le degré s'élève; mais il peut arriver qu'un terme dont le coefficient est très petit ait néanmoins une grande importance, parce que l'intégration introduit des petits diviseurs grâce auxquels un petit terme produit parfois une perturbation considérable.

Supposons que nous ayons, dans la fonction perturbatrice, un terme

B cos( A-i Xi H- X'.2/w j,