Considérons l'expression

où j'ai représenté par E la limite de ( i H j pour m = oo, afin

d'éviter toute confusion avec e qui représente l'excentricité.

Cette fonction F est une fonction périodique de «, développable d'après la méthode de Fourier en série procédant suivant les exponentielles

^i /nu,

OÙ ni est un entier positif ou négatif. Les coefficients sont des fonctions de a?, de sorte que je puis écrire

(j) £'■•■*'"" = '% i„Aic)Ei '"-"■.

Les fonctions J,„(x) s'appellent les fonctions de Bessel. Le premier membre de (3) est le produit des deux exponentielles

'— E'" vn IX \ O' I

d'où, par multiplication,

Pour avoir J„,, il faut chercher dans le second membre les termes en E""", c'est-à-dire faire a ^ 3 H- m. Nous trouvons ainsi

^ ! (5 H- w ! V -1 Si m est positif ou nul, il faut donner à [3 les valeurs

et appliquer la formule en supposant

l6 CHAPITRE XV.

On voit alors que i„i{x) est une fonction entière de x, divisible par x"^; la série (4) converge en effet très rapidement pour toutes les valeurs de x.

Si m est négatif, il faut donner à ^ les valeurs ' •

de façon que a soit positif ou nul. Alors im{x) est encore une fonction entière de x divisible cette fois par x~™-.

Observons d'ailleurs que le développement (4) ne contient que des termes de degré pair si m est pair, de degré impair si m est impair. On a donc

Si d'autre part, dans la formule (3), nous changeons ^ en — x et a en — ;/, elle devient

( 3 bis ) E'-^'si" " "^ 51 ^'" ^~ •z') E-''"".

En identifiant les deux développements (3) et (3 bis) de E"^'"", on trouve

d'où

formule qui permet de ne considérer que des fonctions de Bessel d'indice positif.