Différentions l'équation (3) par rapport à w, il vient
ou
En identifiant les coefficients de E'"'" dans les deux membres il vient
relation de récurrence entre trois fonctions de Bessel consécutives.
APPLICATION l>ES FONCTIONS DE BESSEL. I7
Différentions maintenant l'équation (3) par rapport à x^ il viendra
(8) tsinME'''si"" = V J',„(a?)E'"2«
OU
( E'" — E-'" ) ^ J//) E''«« = 2 V J « E'''"«, ou en identifiant les deux membres
( 9 ) '^ J /« = J in~\ — J «z+1 ,
formule qui permet de calculer la dérivée de J,„.
221. Différentions maintenant la formule (3) deux fois par rapport à M, ou bien encore deux fois par rapport à x^ nous obtiendrons ainsi les deux formules
(lo) — ix sinif E''si"«— a^2cos2A<E'''sin" = — \^m2J„;E''"",
(il) — sin2aË'''^'""=^j;'„(:p) ?>■'"«.
Ajoutons maintenant les quatre formules (3), (8), (lo), (ii) après les avoir respectivement multipliées par
dC . \~ lA- . I . OC " ^
il viendra
2 [-^^J"" + ^J/« + (^' - m-) J,„] E''«" = G ; d'où (|2) a72j'',j-i- 37j'/„ -I- (a7- — mP-)} „i = o,
équation différentielle linéaire du second ordre à laquelle satisfait la fonction de Bessel J,;^.
225. Bien que la série (4) converge très rapidement pour toutes les valeurs de x^ il peut j avoir intérêt à rechercher une valeur approchée de la fonction J,„ pour x très grand. Nous avons par la formule de Fourier
l8 CHAPITRE XV.
OU en posant
sin u = ^.
(i3) ni,,, = E'^^E-i'""
Supposons x réel, positif et très grand. Au lieu de faire l'intégration le long de la droite qui joint le point s = — i au point ^ = 1, c'est-à-dire en donnant à ;; des valeurs réelles, nous pouvons la faire le long d'un autre chemin ayant mêmes extrémités.
Nous choisirons un chemin tel que la partie imaginaire de z soit constamment positive, sauf bien entendu aux deux extrémités c = zt I . Dans ces conditions ixz a sa partie réelle négative et très grande, et E'-^^ est très petit. Les seules parties du chemin d'intégration qui pourront donner des termes sensibles sont donc les parties voisines des deux extrémités, parce qu'aux extrémités, ^ devient réel et que la partie réelle de ixz devient nulle.
Mais près de l'extrémité ^ = i ; nous avons sensiblement
Près de l'extrémité 5 = — i ; nous avons sensiblement
■K U = , E-tma ^ E -, / 1 — S2 = v/-i ( 1 + S ).
Mais il importe de voir quel signe il convient de donner aux radicaux. Nous devons supposer que le signe de yj i — z- a été choisi de façon que, pour z réel et compris entre — i et + i, le radical soit réel et positif. Nous pouvons supposer d'autre part que le chemin d'intégration aboutit à ses deux extrémités zt i par deux petits segments de droite de longueur s, perpendiculaires à Taxe des quantités réelles. Ce sera d'ailleurs les seules parties de ce chemin que nous conserverons.
L'argument de ^i — z- sera alors — le long du segment aboutis-
sant H z ^= — I , et — • ^ le lono- du serment aboutissant à :; = i . Le long d u premier segment nous pourrons prendre arg^/s H- i = y ,
